Упр.147 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v(x-1-2v(x-2))+v(x+7-6v(x-2))=2;
б) v(x+3-4v(x-1))+v(x+8-6v(x-1))=1.

а) Обозначим $$y=\sqrt{x-2}.$$ Тогда $$x=y^2+2,\quad y\ge 0.$$

Уравнение принимает вид

$$\sqrt{y^2+1-2y}+\sqrt{y^2+9-6y}=2,$$

то есть

$$\sqrt{(y-1)^2}+\sqrt{(y-3)^2}=2,$$

$$|y-1|+|y-3|=2.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$y\le 1,$$ то $$|y-1|+|y-3|=(1-y)+(3-y)=4-2y=2,$$ откуда $$y=1;$$
• если $$1\le y\le 3,$$ то $$|y-1|+|y-3|=(y-1)+(3-y)=2;$$
• если $$y\ge 3,$$ то $$|y-1|+|y-3|=(y-1)+(y-3)=2y-4=2,$$ откуда $$y=3.$$

Значит, $$1\le y\le 3.$$ Возвращаемся к замене:

$$1\le \sqrt{x-2}\le 3,$$

$$1\le x-2\le 9,$$

$$3\le x\le 11.$$

б) Обозначим $$y=\sqrt{x-1}.$$ Тогда $$x=y^2+1,\quad y\ge 0.$$

Получаем

$$\sqrt{y^2+4-4y}+\sqrt{y^2+9-6y}=1,$$

то есть

$$\sqrt{(y-2)^2}+\sqrt{(y-3)^2}=1,$$

$$|y-2|+|y-3|=1.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$y\le 2,$$ то $$|y-2|+|y-3|=(2-y)+(3-y)=5-2y=1,$$ откуда $$y=2;$$
• если $$2\le y\le 3,$$ то $$|y-2|+|y-3|=(y-2)+(3-y)=1;$$
• если $$y\ge 3,$$ то $$|y-2|+|y-3|=(y-2)+(y-3)=2y-5=1,$$ откуда $$y=3.$$

Следовательно, $$2\le y\le 3.$$ Возвращаемся к замене:

$$2\le \sqrt{x-1}\le 3,$$

$$4\le x-1\le 9,$$

$$5\le x\le 10.$$

Ответ

а) $$[3;11]$$; б) $$[5;10]$$.