Упр.147 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v(x+17)-v(x-7)=4; б) 12v(x-1)-(x-1)^(1/4)=3;
в) v(x+7)+v(x-2)=9; г) 2(x+1)^(1/3)-(x+1)^(1/6)=6.

1. а) $$\sqrt{x+17}-\sqrt{x-7}=4.$$

   Перенесём один корень вправо:

   $$\sqrt{x+17}=4+\sqrt{x-7}.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x+17=16+8\sqrt{x-7}+x-7.$$

   $$8\sqrt{x-7}=8,$$

   $$\sqrt{x-7}=1,$$

   $$x-7=1,$$

   $$x=8.$$

   Проверка области определения: $$x+17\ge 0,\; x-7\ge 0,$$ значит $$x\ge 7.$$

   Полученное значение подходит.

2. б) $$2\sqrt{x-1}+\sqrt[4]{x-1}=3.$$

   Пусть $$y=\sqrt[4]{x-1},$$ тогда $$\sqrt{x-1}=y^2.$$

   Получаем уравнение:

   $$2y^2+y=3,$$

   $$2y^2+y-3=0.$$

   $$D=1+24=25,$$

   $$y_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}, \quad y_2=\frac{-1+5}{4}=1.$$

   Так как $$y=\sqrt[4]{x-1}\ge 0,$$ подходит только $$y=1.$$

   Тогда

   $$\sqrt[4]{x-1}=1,$$

   $$x-1=1,$$

   $$x=2.$$

3. в) $$\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x+7+2\sqrt{(x+7)(x-2)}+x-2=81,$$

   $$2\sqrt{x^2+5x-14}=76-2x,$$

   $$\sqrt{x^2+5x-14}=38-x.$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$x^2+5x-14=(38-x)^2,$$

   $$x^2+5x-14=1444-76x+x^2,$$

   $$81x=1458,$$

   $$x=18.$$

   Область определения:

   $$x+7\ge 0,\quad x-2\ge 0,$$

   то есть $$x\ge 2.$$ Значение $$x=18$$ подходит.

4. г) $$2\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[6]{x+1}=6.$$

   Пусть $$y=\sqrt[6]{x+1},$$ тогда $$\sqrt[3]{x+1}=y^2.$$

   Получаем:

   $$2y^2-y=6,$$

   $$2y^2-y-6=0.$$

   $$D=1+48=49,$$

   $$y_1=\frac{1-7}{4}=-\frac{3}{2}, \quad y_2=\frac{1+7}{4}=2.$$

   Так как $$y=\sqrt[6]{x+1}\ge 0,$$ подходит только $$y=2.$$

   Тогда

   $$\sqrt[6]{x+1}=2,$$

   $$x+1=64,$$

   $$x=63.$$

Ответ

а) $$8$$; б) $$2$$; в) $$18$$; г) $$63$$.