Упр.146 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) v(1+cos(x))=sin(x); б) v(1-2cos(x))=sin(x);
в) v(4-3cos(x))=-2cos(x); г) v(2sin(2x))=-2sin(x).

Подробный ответ

а) $$\sqrt{1+\cos x}=\sin x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$1+\cos x=\sin^2 x$$
Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$1+\cos x=1-\cos^2 x$$
$$\cos^2 x+\cos x=0$$
$$\cos x(\cos x+1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-1$$
Проверяем условие $$\sin x\ge 0$$, так как левая часть неотрицательна:
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
б) $$\sqrt{1-2\cos x}=\sin x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$1-2\cos x=\sin^2 x$$
Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$1-2\cos x=1-\cos^2 x$$
$$\cos^2 x-2\cos x=0$$
$$\cos x(\cos x-2)=0$$
Так как $$\cos x\ne 2$$, получаем:
$$\cos x=0$$
Тогда с учётом $$\sin x\ge 0$$:
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
в) $$\sqrt{4-3\cos x}=-2\cos x$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$-2\cos x\ge 0$$, значит $$\cos x\le 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$4-3\cos x=4\cos^2 x$$
$$4\cos^2 x+3\cos x-4=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=3^2-4\cdot 4\cdot(-4)=9+64=73$$
$$\cos x=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{8}$$
При этом
$$\frac{-3-\sqrt{73}}{8}<-1$$
такой корень не подходит. Второй корень положителен, но он противоречит условию $$\cos x\le 0$$.
Следовательно, решений нет.
г) $$\sqrt{2\sin 2x}=-2\sin x$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$-2\sin x\ge 0$$, значит $$\sin x\le 0$$.
Возведём обе части в квадрат:
$$2\sin 2x=4\sin^2 x$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$4\sin x\cos x=4\sin^2 x$$
$$\sin x\cos x=\sin^2 x$$
$$\sin x(\cos x-\sin x)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\sin x$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$.
С учётом $$\sin x\le 0$$ подходят все эти значения.
2) $$\cos x=\sin x \Rightarrow \tan x=1$$, значит
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
Но здесь нужно ещё $$\sin x\le 0$$, поэтому подходит только
$$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$