Упр.146 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v(x^2+2x+10)=2x-1; б) v(x^2-16)=x^2-22;
в) v(17+2x-3x^2)=x+1; г) v(x^2+9)=x^2-11.

1. а) $$\sqrt{x^2+2x+10}=2x-1$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2+2x+10=4x^2-4x+1$$

   $$3x^2-6x-9=0$$

   $$x^2-2x-3=0$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=3$$

   Проверим область допустимых значений: $$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12.$$

   Подходит только $$x=3$$.

2. б) $$\sqrt{x^2-16}=x^2-22$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2-16=(x^2-22)^2$$

   $$x^2-16=x^4-44x^2+484$$

   $$x^4-45x^2+500=0$$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда:

   $$t^2-45t+500=0$$

   $$D=45^2-4\cdot 500=25$$

   $$t_1=\frac{45-5}{2}=20,\quad t_2=\frac{45+5}{2}=25$$

   Отсюда:

   $$x^2=20 \Rightarrow x=\pm 2\sqrt5,\qquad x^2=25 \Rightarrow x=\pm 5$$

   Проверка по ОДЗ: $$x^2-22\ge 0,\quad x^2\ge 22.$$

   Подходят только $$x=-5$$ и $$x=5$$.

3. в) $$\sqrt{17+2x-3x^2}=x+1$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$17+2x-3x^2=x^2+2x+1$$

   $$4x^2-16=0$$

   $$x^2=4,\quad x=\pm 2$$

   По ОДЗ: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$

   Подходит только $$x=2$$.

4. г) $$\sqrt{x^2+9}=x^2-11$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^2+9=(x^2-11)^2$$

   $$x^2+9=x^4-22x^2+121$$

   $$x^4-23x^2+112=0$$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда:

   $$t^2-23t+112=0$$

   $$D=23^2-4\cdot 112=81$$

   $$t_1=\frac{23-9}{2}=7,\quad t_2=\frac{23+9}{2}=16$$

   Отсюда:

   $$x^2=7 \Rightarrow x=\pm \sqrt7,\qquad x^2=16 \Rightarrow x=\pm 4$$

   По ОДЗ: $$x^2-11\ge 0,\quad x^2\ge 11.$$

   Подходит только $$x=-4$$ и $$x=4$$.

Ответ

а) $$3$$; б) $$-5,\ 5$$; в) $$2$$; г) $$-4,\ 4$$.