Упр.146 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=-1$$

   Пусть $$t=\frac{\pi}{6}-2x$$. Тогда

   $$\cos t=-1$$

   Отсюда

   $$t=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$\frac{\pi}{6}-2x=\pi+2\pi n$$

   $$-2x=\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi n=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$

   $$x=-\frac{5\pi}{12}-\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$n$$ — любое целое число, можно записать:

   $$x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\sqrt{3}$$

   Пусть $$t=\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}$$. Тогда

   $$2\sin t=\sqrt{3},\qquad \sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Следовательно,

   $$t=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n$$

   $$-\frac{x}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}+\pi n$$

   $$x=4\left(\frac{\pi}{3}-(-1)^n\frac{\pi}{3}-\pi n\right).$$

   Это можно записать в виде двух серий решений:

   $$x=4\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

   или

   $$x=\frac{8\pi}{3}+4\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-1$$

   Пусть $$t=\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}$$. Тогда

   $$\tg t=-1$$

   Отсюда

   $$t=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$

   $$-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\pi n$$

   $$x=\pi-2\pi n.$$

   Следовательно,

   $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\sqrt{2}$$

   Пусть $$t=\frac{\pi}{4}-3x$$. Тогда

   $$2\cos t=\sqrt{2},\qquad \cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Следовательно,

   $$t=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$\frac{\pi}{4}-3x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n$$

   1) $$\frac{\pi}{4}-3x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \Rightarrow x=-\frac{2\pi n}{3}.$$

   2) $$\frac{\pi}{4}-3x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi n}{3}.$$

   Итак, решения можно записать так:

   $$x=\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=4\pi n$$ или $$x=\frac{8\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{2\pi n}{3}$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$