Упр.144 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (x-1)(x+2)(x-3)(x-4)?0; б) x^4-3x^2+2?0;
в) (4-x)/(x-5) > 1/(1-x); г) 1+12/x^2 < 7/x.

1. $$ (x-1)(x+2)(x-3)(x-4)\le 0 $$

   Перегруппируем множители:

   $$ (x+2)(x-1)(x-3)(x-4)\le 0 $$

   Нули выражения: $$x=-2,\;1,\;3,\;4.$$

   Знак произведения меняется в каждой из этих точек, поэтому получаем:

   $$ x\in[-2;1]\cup[3;4]. $$

2. $$ x^4-3x^2+2\le 0 $$

   Сделаем замену: $$t=x^2.$$ Тогда

   $$ t^2-3t+2\le 0 $$

   $$ (t-1)(t-2)\le 0 $$

   Отсюда

   $$ 1\le t\le 2. $$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем:

   $$ 1\le x^2\le 2 $$

   $$ x\in[-\sqrt2;-1]\cup[1;\sqrt2]. $$

3. $$ \frac{4-x}{x-5}>\frac{1}{1-x} $$

   ОДЗ: $$x\ne 5,\;x\ne 1.$$ Перенесём всё в одну дробь:

   $$ \frac{(4-x)(1-x)-(x-5)}{(x-5)(1-x)}>0 $$

   $$ \frac{x^2-6x+9}{(x-5)(1-x)}>0 $$

   $$ \frac{(x-3)^2}{(x-5)(1-x)}>0 $$

   Так как $$ (x-3)^2\ge 0 $$ и равно нулю только при $$x=3$$, то для строгого неравенства нужно, чтобы знаменатель был отрицателен:

   $$ (x-5)(1-x)<0. $$

   Это выполняется при

   $$ 1<x<5, \quad x\ne 3. $$

   Следовательно,

   $$ x\in(1;3)\cup(3;5). $$

4. $$ 1+\frac{12}{x^2}<\frac{7}{x} $$

   ОДЗ: $$x\ne 0.$$ Приведём к одной дроби:

   $$ \frac{x^2-7x+12}{x^2}<0 $$

   $$ \frac{(x-3)(x-4)}{x^2}<0 $$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак дроби определяется числителем:

   $$ (x-3)(x-4)<0. $$

   Отсюда

   $$ 3<x<4. $$

Ответ

а) $$[-2;1]\cup[3;4]$$; б) $$[-\sqrt2;-1]\cup[1;\sqrt2]$$; в) $$ (1;3)\cup(3;5) $$; г) $$ (3;4) $$.