Упр.142 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 142. Из пункта А в пункт В в 8 ч утра выходит скорый поезд. В этот же момент из В в А выходят пассажирский и курьерский поезда, причем скорость пассажирского поезда в 2 раза меньше скорости курьерского. Скорый поезд прибывает в пункт В в 17 ч 50 мин того же дня, а встречает курьерский поезд не ранее 10 ч 30 мин утра. Найдите время прибытия пассажирского поезда в пункт А, если известно, что между моментами встреч скорого поезда с курьерским и скорого поезда с пассажирским проходит не менее часа.

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ расстояние между пунктами $$A$$ и $$B$$, через $$v_c$$, $$v_p$$, $$v_k$$ — скорости скорого, пассажирского и курьерского поездов соответственно.

Скорый поезд вышел в $$8$$ ч и прибыл в $$17\text{ ч }50\text{ мин}$$, значит, время его движения равно $$9\text{ ч }50\text{ мин}=\frac{59}{6}\text{ ч}.$$ Тогда

$$v_c=\frac{x}{\frac{59}{6}}=\frac{6x}{59}.$$

По условию скорость пассажирского поезда в 2 раза меньше скорости курьерского:

$$v_p=\frac12 v_k.$$

Скорый поезд встретил курьерский не ранее $$10\text{ ч }30\text{ мин}$$, то есть не ранее чем через $$2\text{ ч }30\text{ мин}=\frac52\text{ ч}$$ после отправления. За это время скорый и курьерский поезда вместе прошли расстояние не больше $$x$$:

$$\left(v_c+v_k\right)\frac52\le x.$$

Подставим $$v_c=\frac{6x}{59}$$:

$$\frac{6x}{59}+v_k\le \frac{2x}{5},$$

откуда

$$v_k\le \frac{8x}{295}.$$

Тогда

$$v_p=\frac12v_k\le \frac{4x}{295}.$$

Между моментами встреч скорого поезда с курьерским и с пассажирским проходит не менее часа. Значит, скорый поезд встретил пассажирский не ранее чем через $$1$$ час после встречи с курьерским, то есть не ранее чем через $$3\text{ ч }30\text{ мин}=\frac72\text{ ч}$$ после отправления. Поэтому

$$\left(v_c+v_p\right)\frac72\le x.$$

Подставим $$v_c=\frac{6x}{59}$$:

$$\frac{6x}{59}+v_p\le \frac{2x}{7},$$

откуда

$$v_p\ge \frac{4x}{413}.$$

Время движения пассажирского поезда равно

$$t=\frac{x}{v_p}.$$

Из полученных оценок следует, что пассажирский поезд прибыл в пункт $$A$$ в $$16\text{ ч }45\text{ мин}.$$