Упр.141 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 4/(x^2+4)+5/(x^2+5)=2; б) 2x^4-5x^2+2=0;
в) ((x-1)/x)^2-3((x-1)/x)+2=0; г) (x^2+1)/x+x/(x^2+1)=2,5.

1. а) $$\frac{4}{x^2+4}+\frac{5}{x^2+5}=2.$$

   Умножим обе части на $$\left(x^2+4\right)\left(x^2+5\right):$$

   $$ 4(x^2+5)+5(x^2+4)=2(x^2+4)(x^2+5) $$
   $$ 4x^2+20+5x^2+20=2x^4+18x^2+40 $$
   $$ 2x^4+9x^2=0 $$
   $$ x^2(2x^2+9)=0 $$

   Отсюда $$x=0$$, так как $$2x^2+9=0$$ действительных корней не имеет.

2. б) $$2x^4-5x^2+2=0.$$

   Положим $$t=x^2$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$ 2t^2-5t+2=0 $$
   $$ D=25-16=9 $$
   $$ t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4} $$
   $$ t_1=\frac12,\quad t_2=2 $$

   Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

   $$ x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt2}{2} $$
   $$ x^2=2 \Rightarrow x=\pm \sqrt2 $$

3. в) $$\left(\frac{x-1}{x}\right)^2-3\left(\frac{x-1}{x}\right)+2=0.$$

   Пусть $$y=\frac{x-1}{x}$$, тогда:

   $$ y^2-3y+2=0 $$
   $$ (y-1)(y-2)=0 $$
   $$ y=1 \text{ или } y=2 $$

   1) $$\frac{x-1}{x}=1 \Rightarrow x-1=x,$$ что невозможно.

   2) $$\frac{x-1}{x}=2 \Rightarrow x-1=2x \Rightarrow x=-1.$$

4. г) $$\frac{x^2+1}{x}+\frac{x}{x^2+1}=2{,}5.$$

   Пусть $$y=\frac{x^2+1}{x}$$, тогда $$\frac{x}{x^2+1}=\frac1y$$ и

   $$ y+\frac1y=\frac52 $$
   $$ 2y^2-5y+2=0 $$
   $$ D=25-16=9 $$
   $$ y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4} $$
   $$ y_1=\frac12,\quad y_2=2 $$

   1) $$\frac{x^2+1}{x}=\frac12 \Rightarrow 2x^2-x+2=0,$$ действительных корней нет.

   2) $$\frac{x^2+1}{x}=2 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0,$$ откуда $$x=1.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$-\sqrt2,\ -\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt2}{2},\ \sqrt2$$; в) $$-1$$; г) $$1$$.