Упр.140 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 140. Школьник затратил некоторую сумму денег на покупку портфеля, авторучки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, авторучка — в 2 раза дешевле, а книга — в 2,5 раза дешевле, чем на самом деле, то та же покупка стоила бы 80 р. Если бы портфель стоил в 2 раза дешевле, книга — в 3 раза дешевле, а авторучка — в 4 раза дешевле, то за ту же покупку школьник уплатил бы 120 р. Сколько стоит вся покупка и что дороже: портфель или авторучка?

Подробный ответ

Обозначим: $$x$$ руб. — цена портфеля, $$y$$ руб. — цена авторучки, $$z$$ руб. — цена книги.

По условию получаем систему:

$$ \frac{x}{5}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2{,}5}=80 $$
$$ \frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=120 $$

Умножим первое уравнение на $$10$$, а второе — на $$12$$:

$$ 2x+5y+4z=800 $$
$$ 6x+3y+4z=1440 $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ 4x-2y=640 $$
$$ 2x-y=320 $$

Теперь сложим исходные уравнения:

$$ (2x+5y+4z)+(6x+3y+4z)=800+1440 $$
$$ 8x+8y+8z=2240 $$
$$ x+y+z=280 $$

Из уравнения $$2x-y=320$$ получаем:

$$ y=2x-320 $$

Тогда из $$x+y+z=280$$ имеем:

$$ z=280-x-y=280-x-(2x-320)=600-3x $$

Так как цены должны быть положительными, а из условия следует, что портфель дороже авторучки, получаем $$x>y$$. Проверим подходящее значение:

$$ 2x-y=320 $$
$$ x-(2x-320)=320-x $$

Чтобы $$y>0$$ и $$z>0$$, подходит $$x=160$$, тогда

$$ y=2\cdot160-320=0 $$

Это невозможно, значит нужно взять другое решение системы. Подставим $$y=2x-320$$ в сумму:

$$ x+(2x-320)+z=280 $$
$$ z=600-3x $$

Из первого уравнения:

$$ 2x+5(2x-320)+4z=800 $$
$$ 12x+4z=2400 $$
$$ 3x+z=600 $$

Это совпадает с найденным выражением для $$z$$, значит система имеет бесконечно много решений. Но из условия задачи требуется найти общую стоимость покупки:

$$ x+y+z=280 $$

Сравним портфель и авторучку:

$$ x-y=320-x $$

Так как цена портфеля положительна и меньше $$320$$, то $$x-y>0$$, следовательно, портфель дороже авторучки.