Упр.14 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
2) Решите систему уравнений:
а) {x-3y=5, 2^(6y-x)=1/4}; б) {5^(2x-y)=0,2, 5^(y-x)=125};
в) {2xy=9, 4^(x-2y)=1}; г) {3^(3x+y)=v3, 5x-4y=15}.
3) Решите систему уравнений:
а) {x-y=4, log(2; x)-log(2; y)=1}; б) {3^(x-2y)=1, lg(x)+lg(y+5)=2};
в) {log(3; 5x-y)=2, xy=2}; г) {x^2+y^2=26, log(5; x)=1+log(5; y)}.
1) Решением системы двух уравнений с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство.
а)
$$\begin{cases} x-3y=5,\\ 2^{6y-x}=\dfrac14 \end{cases}$$
$$\dfrac14=2^{-2}, \quad 6y-x=-2, \quad x=6y+2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$6y+2-3y=5,$$
$$3y=3,\quad y=1,$$
$$x=6\cdot 1+2=8.$$Ответ: $$(8;\,1).$$
б)
$$\begin{cases} 5^{2x-y}=0{,}2,\\ 5^{y-x}=125 \end{cases}$$
$$0{,}2=5^{-1}, \quad 125=5^3.$$
Тогда
$$2x-y=-1,$$
$$y-x=3,\quad y=x+3.$$Подставим:
$$2x-(x+3)=-1,$$
$$x=2,$$
$$y=2+3=5.$$Ответ: $$(2;\,5).$$
в)
$$\begin{cases} 2xy=9,\\ 4^{x-2y}=1 \end{cases}$$
$$4^{x-2y}=1=4^0,\quad x-2y=0,\quad x=2y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2\cdot (2y)\cdot y=9,$$
$$4y^2=9,$$
$$y^2=\dfrac94,$$
$$y=\pm \dfrac32.$$Тогда
$$x=2y=\pm 3.$$Ответ: $$(-3;\,-1{,}5),\ (3;\,1{,}5).$$
г)
$$\begin{cases} 3^{3x+y}=\sqrt3,\\ 5x-4y=15 \end{cases}$$
$$\sqrt3=3^{1/2},\quad 3x+y=\dfrac12,\quad y=\dfrac12-3x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$5x-4\left(\dfrac12-3x\right)=15,$$
$$5x-2+12x=15,$$
$$17x=17,\quad x=1.$$$$y=\dfrac12-3=-\dfrac52=-2{,}5.$$
Ответ: $$(1;\,-2{,}5).$$
а)
$$\begin{cases} x-y=4,\\ \log_2 x-\log_2 y=1 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=x-4.$$Из второго:
$$\log_2 \dfrac{x}{y}=1,\quad \dfrac{x}{y}=2.$$Подставим $y=x-4$:
$$\dfrac{x}{x-4}=2,$$
$$x=2x-8,$$
$$x=8,\quad y=4.$$Ответ: $$(8;\,4).$$
б)
$$\begin{cases} 3^{x-2y}=1,\\ \lg x+\lg (y+5)=2 \end{cases}$$
$$3^{x-2y}=1=3^0,\quad x-2y=0,\quad x=2y.$$
Из второго уравнения:
$$\lg \bigl(x(y+5)\bigr)=2,$$
$$x(y+5)=100.$$Подставим $x=2y$:
$$2y(y+5)=100,$$
$$y^2+5y-50=0.$$$$D=25+200=225,$$
$$y=\dfrac{-5\pm 15}{2}.$$Получаем:
$$y_1=-10,\ x_1=-20;\qquad y_2=5,\ x_2=10.$$Ответ: $$(-20;\,-10),\ (10;\,5).$$
в)
$$\begin{cases} \log_3(5x-y)=2,\\ xy=2 \end{cases}$$
$$\log_3(5x-y)=2 \Rightarrow 5x-y=9,\quad y=5x-9.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x(5x-9)=2,$$
$$5x^2-9x-2=0.$$$$D=81+40=121,$$
$$x=\dfrac{9\pm 11}{10}.$$$$x_1=-\dfrac15,\ y_1=-10;\qquad x_2=2,\ y_2=1.$$
Ответ: $$(-0{,}2;\,-10),\ (2;\,1).$$
г)
$$\begin{cases} x^2+y^2=26,\\ \log_5 x=1+\log_5 y \end{cases}$$
$$\log_5 x=\log_5 5+\log_5 y=\log_5(5y),\quad x=5y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$25y^2+y^2=26,$$
$$26y^2=26,\quad y^2=1.$$Так как $x>0$ и $y>0$, то
$$y=1,\quad x=5.$$Ответ: $$(5;\,1).$$
Ответ
1) Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
2) а) $$(8;\,1)$$; б) $$(2;\,5)$$; в) $$(-3;\,-1{,}5),\ (3;\,1{,}5)$$; г) $$(1;\,-2{,}5).$$
3) а) $$(8;\,4)$$; б) $$(-20;\,-10),\ (10;\,5)$$; в) $$(-0{,}2;\,-10),\ (2;\,1)$$; г) $$(5;\,1).$$
