Упр.14 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Укажите точки максимума и точки минимума функций, графики которых изображены на рисунке 79.
3) Найдите точки максимума и точки минимума функции:
а) y=(x-3)^2+2; б) y=cos^2(x);
в) y=1-(x+2)^2; г) y=sin^2(x).

1) Точкой минимума функции $$f$$ называется точка $$x_0$$, если для всех $$x$$ из некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполняется неравенство $$f(x)\ge f(x_0)$$.

Точкой максимума функции $$f$$ называется точка $$x_0$$, если для всех $$x$$ из некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполняется неравенство $$f(x)\le f(x_0)$$.

Точками экстремума функции называются её точки максимума и точки минимума.

2) По рисунку 79:

а) $$x_{\max}=3,\; x_{\max}=7;$$

$$x_{\min}=-1,\; x_{\min}=6.$$

б) $$x_{\max}=\pm 4;\; x_{\min}=1.$$

3) Найдём точки экстремума функций:

а) $$y=(x-3)^2+2.$$

Так как $$ (x-3)^2\ge 0 $$, то наименьшее значение функции достигается при $$x=3$$.

Ответ: $$x_{\min}=3.$$

б) $$y=\cos^2 x.$$

Поскольку $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то

$$x_{\max}=\pi n,\qquad x_{\min}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

в) $$y=1-(x+2)^2.$$

Так как $$ (x+2)^2\ge 0 $$, то наибольшее значение функции достигается при $$x=-2$$.

Ответ: $$x_{\max}=-2.$$

г) $$y=\sin^2 x.$$

Поскольку $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то

$$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x_{\min}=\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x_0$$ — точка минимума, если в некоторой окрестности $$x_0$$ выполнено $$f(x)\ge f(x_0)$$; $$x_0$$ — точка максимума, если в некоторой окрестности $$x_0$$ выполнено $$f(x)\le f(x_0)$$. Точки экстремума — это точки максимума и минимума функции.

2) а) $$x_{\max}=3,\;7;\; x_{\min}=-1,\;6.$$ б) $$x_{\max}=\pm 4;\; x_{\min}=1.$$

3) а) $$x_{\min}=3.$$ б) $$x_{\max}=\pi n,\; x_{\min}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$ в) $$x_{\max}=-2.$$ г) $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x_{\min}=\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$