Упр.139 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) сумму его корней; б) произведение его корней;
в) сумму квадратов его корней; г) сумму кубов его корней.

Пусть корни уравнения $$3x^2-5x-2=0$$ — это $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{5}{3}, \qquad x_1x_2=-\frac{2}{3}.$$

а) Сумма корней:

$$x_1+x_2=\frac{5}{3}.$$

б) Произведение корней:

$$x_1x_2=-\frac{2}{3}.$$

в) Сумма квадратов корней:

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 $$

$$ x_1^2+x_2^2=\left(\frac{5}{3}\right)^2-2\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{25}{9}+\frac{4}{3}=\frac{37}{9}. $$

г) Сумма кубов корней:

$$ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2) $$

$$ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl((x_1^2+x_2^2)-x_1x_2\bigr) $$

$$ x_1^3+x_2^3=\frac{5}{3}\left(\frac{37}{9}+\frac{2}{3}\right) =\frac{5}{3}\cdot\frac{43}{9} =\frac{215}{27}. $$

Ответ

а) $$\frac{5}{3}$$; б) $$-\frac{2}{3}$$; в) $$\frac{37}{9}$$; г) $$\frac{215}{27}$$.