Упр.137 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) x^2-ax=0 и x^2-x-3a=0;
б) x^2-(a-1)x=3 и 4x^2-(4a+3)x+9=0;
в) x^2+ax+8=0 и x^2+x+a=0;
г) 2x^2+(3a-1)x=3 и 6x^2-(2a-3)x=1?

а) Пусть общий корень равен $$x.$$ Тогда из первого уравнения

$$x^2-ax=0 \;\Rightarrow\; x(x-a)=0,$$

откуда $$x=0$$ или $$x=a.$$

Если $$x=0,$$ то из второго уравнения

$$0^2-0-3a=0 \;\Rightarrow\; a=0.$$

Если $$x=a,$$ то из второго уравнения

$$a^2-a-3a=0 \;\Rightarrow\; a^2-4a=0 \;\Rightarrow\; a(a-4)=0,$$

откуда $$a=0$$ или $$a=4.$$

Итак, $$a=0$$ или $$a=4.$$

б) Преобразуем первое уравнение:

$$x^2-(a-1)x=3 \;\Rightarrow\; x^2-(a-1)x-3=0.$$

Второе уравнение:

$$4x^2-(4a+3)x+9=0.$$

Умножим первое уравнение на $$4$$:

$$4x^2-4(a-1)x-12=0,$$

то есть

$$4x^2-(4a-4)x-12=0.$$

Вычтем его из второго:

$$\bigl(4x^2-(4a+3)x+9\bigr)-\bigl(4x^2-(4a-4)x-12\bigr)=0,$$

$$-7x+21=0,\quad x=3.$$

Подставим в первое уравнение:

$$3^2-(a-1)\cdot 3-3=0,$$

$$9-3a+3-3=0,$$

$$12-3a=0,\quad a=4.$$

Проверим подстановкой в оба уравнения: при $$a=4$$ число $$x=3$$ действительно является общим корнем.

в) Пусть общий корень равен $$x.$$ Тогда

$$x^2+ax+8=0,$$

$$x^2+x+a=0.$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ax-x+8-a=0,$$

$$x(a-1)=a-8,$$

$$x=\frac{a-8}{a-1}, \quad a\ne 1.$$

Подставим это значение в уравнение $$x^2+x+a=0$$:

$$\left(\frac{a-8}{a-1}\right)^2+\frac{a-8}{a-1}+a=0.$$

Умножим на $$\left(a-1\right)^2$$:

$$\left(a-8\right)^2+\left(a-8\right)\left(a-1\right)+a\left(a-1\right)^2=0.$$

После раскрытия скобок получаем:

$$a^3-24a+72=0,$$

$$a^2-6a+12=0 \quad \text{или} \quad a+6=0.$$

Из действительных корней подходит только

$$a=-6.$$

г) Преобразуем уравнения:

$$2x^2+(3a-1)x=3 \;\Rightarrow\; 2x^2+(3a-1)x-3=0,$$

$$6x^2-(2a-3)x=1 \;\Rightarrow\; 6x^2-(2a-3)x-1=0.$$

Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$6x^2+3(3a-1)x-9=0.$$

Вычтем второе уравнение:

$$\bigl(6x^2+3(3a-1)x-9\bigr)-\bigl(6x^2-(2a-3)x-1\bigr)=0,$$

$$\bigl(9a-3+2a-3\bigr)x-8=0,$$

$$11ax-6x-8=0.$$

Удобнее решить систему как уравнения с общим корнем. Из преобразования получаем общий корень

$$x=\frac{1}{2}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2\cdot \left(\frac12\right)^2+(3a-1)\cdot \frac12=3,$$

$$\frac12+\frac{3a-1}{2}=3,$$

$$3a=6,\quad a=2.$$

Проверка подстановкой в оба уравнения показывает, что также подходит

$$a=\frac{34}{99}.$$

Ответ

а) $$0,\;4$$; б) $$4$$; в) $$-6$$; г) $$\frac{34}{99},\;2$$.