Упр.136 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 136. а) Сумма цифр трехзначного числа равна 17, а сумма их квадратов 109. Если из данного числа вычесть 495, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите число. б) Найдите все трехзначные числа, сумма цифр которых равна 17, а сумма квадратов цифр равна 109.
Пусть цифры трёхзначного числа — $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Тогда
$$a+b+c=17, \qquad a^2+b^2+c^2=109.$$
а) По условию, если из числа $$100a+10b+c$$ вычесть $$495$$, получится число с теми же цифрами в обратном порядке:
$$100a+10b+c-495=100c+10b+a.$$
Отсюда
$$99a-99c=495, \qquad a-c=5, \qquad a=c+5.$$
Подставим в сумму цифр:
$$c+5+b+c=17, \qquad b=12-2c.$$
Теперь используем сумму квадратов:
$$ (c+5)^2+(12-2c)^2+c^2=109. $$
Раскроем скобки:
$$ c^2+10c+25+144-48c+4c^2+c^2=109, $$
$$ 6c^2-38c+60=0, $$
$$ 3c^2-19c+30=0. $$
Дискриминант:
$$ D=19^2-4\cdot 3\cdot 30=361-360=1. $$
Тогда
$$ c=\frac{19-1}{2\cdot 3}=3 $$
(второй корень не является целым числом). Следовательно,
$$a=c+5=8, \qquad b=12-2\cdot 3=6.$$
Искомое число: $$863$$.
б) Найдём все трёхзначные числа, у которых
$$a+b+c=17, \qquad a^2+b^2+c^2=109.$$
Так как $$a\le b\le c$$, то
$$a^2+b^2+c^2\le 3c^2,$$
значит
$$c^2\ge \frac{109}{3}, \qquad c\ge 7.$$
Рассмотрим возможные значения $$c$$.
1) $$c=7$$. Тогда
$$a+b=10, \qquad a^2+b^2=60.$$
Пусть $$b=10-a$$. Тогда
$$ a^2+(10-a)^2=60, $$
$$ 2a^2-20a+40=0, $$
$$ a^2-10a+20=0. $$
Дискриминант:
$$ D=100-80=20, $$
поэтому целых решений нет.
2) $$c=8$$. Тогда
$$a+b=9, \qquad a^2+b^2=45.$$
Пусть $$b=9-a$$. Тогда
$$ a^2+(9-a)^2=45, $$
$$ 2a^2-18a+36=0, $$
$$ a^2-9a+18=0. $$
$$ D=81-72=9, $$
$$ a=\frac{9\pm 3}{2}. $$
Получаем $$a=3$$ или $$a=6$$. Тогда числа: $$368$$ и $$638$$.
3) $$c=9$$. Тогда
$$a+b=8, \qquad a^2+b^2=28.$$
Пусть $$b=8-a$$. Тогда
$$ a^2+(8-a)^2=28, $$
$$ 2a^2-16a+36=0, $$
$$ a^2-8a+18=0. $$
$$ D=64-72=-8<0, $$
решений нет.
Итак, все подходящие трёхзначные числа:
$$368,\ 386,\ 638,\ 683,\ 836,\ 863.$$
Ответ
а) $$863$$; б) $$368,\ 386,\ 638,\ 683,\ 836,\ 863$$.
