Упр.132 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) {x^3-y^3=19(x-y), x^3+y^3=7(x+y)};
б) {x^3=5x+y, y^3=x+5y}.
в) {x^2+y+z=2, x+y^2+z=2, x+y+z^2=2};
г) {x^2+2yz=1, y^2+2xz=2, z^2+2xy=1}.
а)
$$x^3-y^3=19(x-y), \qquad x^3+y^3=7(x+y).$$
Разложим на множители:
$$ (x-y)(x^2+xy+y^2)=19(x-y), $$
$$ (x+y)(x^2-xy+y^2)=7(x+y). $$
Случай $x=y$ даёт
$$ 2x^3=14x,\quad x^2=7, $$
откуда
$$x=y=\pm\sqrt7.$$
Случай $x=-y$ даёт
$$ 2x^3=38x,\quad x^2=19, $$
откуда
$$x=\pm\sqrt{19},\quad y=\mp\sqrt{19}.$$
Если же $x\ne y$ и $x\ne -y$, то
$$ x^2+xy+y^2=19,\qquad x^2-xy+y^2=7. $$
Вычитая и складывая, получаем
$$ 2xy=12,\quad xy=6, $$
$$ 2x^2+2y^2=26,\quad x^2+y^2=13. $$
Тогда
$$ x^2,\ y^2 \text{ — корни уравнения } t^2-13t+36=0, $$
откуда
$$t=4 \text{ или } 9.$$
Значит,
$$\{x,y\}=\{2,3\}\ \text{или}\ \{-2,-3\}.$$б)
$$x^3=5x+y,\qquad y^3=x+5y.$$
Сложим уравнения:
$$ x^3+y^3=6x+6y, $$
$$ (x+y)(x^2-xy+y^2)=6(x+y). $$
Если $x+y=0$, то $y=-x$, и из системы получаем
$$ -x^3=4x,\quad x^2=4, $$
значит,
$$x=\pm2,\quad y=\mp2.$$
Если $x+y\ne0$, то
$$ x^2-xy+y^2=6. $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ x^3-y^3=4x-4y, $$
$$ (x-y)(x^2+xy+y^2)=4(x-y). $$
Если $x-y=0$, то $x=y$, и
$$ 2x^3=6x,\quad x^2=3, $$
откуда
$$x=y=\pm\sqrt3.$$
Если $x-y\ne0$, то
$$ x^2+xy+y^2=4. $$
Тогда
$$ \begin{cases} x^2-xy+y^2=6,\\ x^2+xy+y^2=4, \end{cases} \qquad 2xy=-2,\quad xy=-1. $$
Получаем
$$ x^2+y^2=5. $$
Следовательно, $x^2$ и $y^2$ — корни уравнения
$$ t^2-5t+1=0, $$
то есть
$$ t=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}. $$
Отсюда
$$ x=\pm\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2},\quad y=\mp\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2}, $$
или
$$ x=\pm\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2},\quad y=\mp\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2}. $$в)
$$\begin{cases} x^2+y+z=2,\\ x+y^2+z=2,\\ x+y+z^2=2. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго и третьего:
$$ (x-y)(x+y-1)=0,\qquad (x-z)(x+z-1)=0. $$
Аналогично из второго и третьего:
$$ (y-z)(y+z-1)=0. $$
Рассмотрим случаи.
1) $x=y=z$. Тогда
$$ x^2+2x=2,\quad x^2+2x-2=0, $$
откуда
$$x=-1\pm\sqrt3.$$
2) $x=y\ne z$. Тогда из первых двух уравнений
$$ x^2+x+z=2,\qquad x+z^2+x=2. $$
Получаем $x=z$ или $x+z=1$. При $x=z$ снова имеем случай 1). При $x+z=1$ из
$$ x^2+x+z=2 $$
получаем
$$ x^2+2x-1=0, $$
но это не даёт новых решений, кроме уже найденных.
3) Аналогично при $x=z$ или $y=z$ получаются решения
$$ (0,1,1),\ (1,0,1),\ (1,1,0),\ (2,-1,-1),\ (-1,2,-1),\ (-1,-1,2). $$г)
$$\begin{cases} x^2+2yz=1,\\ y^2+2xz=2,\\ z^2+2xy=1. \end{cases}$$
Сложим все три уравнения:
$$ x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=4, $$
$$ (x+y+z)^2=4,\quad x+y+z=\pm2. $$
Из первого и третьего уравнений:
$$ x^2-z^2+2yz-2xy=0, $$
$$ (x-z)(x+z-2y)=0. $$
Рассмотрим случаи.
1) $x=z$. Тогда из $x+y+z=\pm2$ получаем
$$ 2x+y=\pm2. $$
Подстановка в первое уравнение даёт
$$ 3x^2\pm4x+1=0, $$
откуда
$$ x=0,\ y=\pm2 \quad \text{или} \quad x=-\frac13,\ y=\frac43. $$
Соответственно,
$$ (0,2,0),\ (0,-2,0),\ \left(-\frac13,\frac43,-\frac13\right). $$
2) $x+z=2y$. Тогда из $x+y+z=\pm2$ имеем
$$ 3y=\pm2,\quad y=\pm\frac23. $$
Подстановка в систему даёт
$$ (1,0,1),\ (-1,0,-1),\ \left(\frac13,\frac43,\frac13\right),\ \left(-\frac13,-\frac43,-\frac13\right). $$
Ответ
а) $$(0,0),\ (\sqrt7,\sqrt7),\ (-\sqrt7,-\sqrt7),\ (3,2),\ (2,3),\ (-3,-2),\ (-2,-3),\ (\sqrt{19},-\sqrt{19}),\ (-\sqrt{19},\sqrt{19}).$$
б) $$(0,0),\ (2,-2),\ (-2,2),\ (\sqrt6,\sqrt6),\ (-\sqrt6,-\sqrt6),$$
$$\left(\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2},\frac{-\sqrt7+\sqrt3}{2}\right),\ \left(\frac{-\sqrt7+\sqrt3}{2},\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2}\right),$$
$$\left(\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2},\frac{-\sqrt7-\sqrt3}{2}\right),\ \left(\frac{-\sqrt7-\sqrt3}{2},\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2}\right).$$
в) $$ (-1+\sqrt3,-1+\sqrt3,-1+\sqrt3),\ (-1-\sqrt3,-1-\sqrt3,-1-\sqrt3),\ (0,1,1),\ (1,0,1),\ (1,1,0),\ (2,-1,-1),\ (-1,2,-1),\ (-1,-1,2). $$
г) $$ (1,0,1),\ (-1,0,-1),\ \left(\frac13,\frac43,\frac13\right),\ \left(-\frac13,-\frac43,-\frac13\right),\ (0,2,0),\ (0,-2,0). $$
