Упр.13 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 1/(4·5)+1/(5·6)+1/(6·7)+…+1/((n+3)(n+4))=n/(4(n+4));
б) 2^2+6^2+…+(4n-2)^2=4n(2n-1)(2n+1)/3;
в) 7/(1·8)+7/(8·15)+7/(15·22)+…+7/((7n-6)(7n+1))=1-1/(7n+1);
г) 1/(4·8)+1/(8·12)+1/(12·16)+…+1/(4n(4n+4))=1/16-1/(16(n+1)).

Подробный ответ

а) Докажем по индукции, что
$$\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\cdots+\frac{1}{(n+3)(n+4)}=\frac{n}{4(n+4)}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac{1}{4\cdot 5}=\frac{1}{20}=\frac{1}{4(1+4)}.$$
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\cdots+\frac{1}{(k+3)(k+4)}=\frac{k}{4(k+4)}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ \frac{1}{4\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{(k+3)(k+4)}+\frac{1}{(k+4)(k+5)} =\frac{k}{4(k+4)}+\frac{1}{(k+4)(k+5)}. $$
$$ \frac{k}{4(k+4)}+\frac{1}{(k+4)(k+5)} =\frac{k(k+5)+4}{4(k+4)(k+5)} =\frac{k^2+5k+4}{4(k+4)(k+5)} =\frac{(k+1)(k+4)}{4(k+4)(k+5)} =\frac{k+1}{4(k+5)}. $$
Значит, формула верна для $$n=k+1$$. Следовательно, она верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
б) Докажем, что
$$2^2+6^2+\cdots+(4n-2)^2=\frac{4n(2n-1)(2n+1)}{3}.$$
При $$n=1$$:
$$2^2=4=\frac{4\cdot 1\cdot (2\cdot 1-1)(2\cdot 1+1)}{3}.$$
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$2^2+6^2+\cdots+(4k-2)^2=\frac{4k(2k-1)(2k+1)}{3}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 2^2+6^2+\cdots+(4k-2)^2+(4k+2)^2 =\frac{4k(2k-1)(2k+1)}{3}+(4k+2)^2. $$
$$ \frac{4k(2k-1)(2k+1)}{3}+(4k+2)^2 =\frac{4k(4k^2-1)}{3}+16k^2+16k+4 $$
$$ =\frac{16k^3+12k^2+8k+3}{3}\cdot 4 =\frac{4(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}. $$
А это и есть
$$\frac{4(k+1)\bigl(2(k+1)-1\bigr)\bigl(2(k+1)+1\bigr)}{3}.$$
Следовательно, равенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.
в) Докажем, что
$$\frac{7}{1\cdot 8}+\frac{7}{8\cdot 15}+\cdots+\frac{7}{(7n-6)(7n+1)}=1-\frac{1}{7n+1}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac{7}{1\cdot 8}=\frac{7}{8}=1-\frac{1}{8}=1-\frac{1}{7\cdot 1+1}.$$
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$\frac{7}{1\cdot 8}+\frac{7}{8\cdot 15}+\cdots+\frac{7}{(7k-6)(7k+1)}=1-\frac{1}{7k+1}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ \frac{7}{1\cdot 8}+\cdots+\frac{7}{(7k-6)(7k+1)}+\frac{7}{(7k+1)(7k+8)} =1-\frac{1}{7k+1}+\frac{7}{(7k+1)(7k+8)}. $$
$$ 1-\frac{1}{7k+1}+\frac{7}{(7k+1)(7k+8)} =1+\frac{- (7k+8)+7}{(7k+1)(7k+8)} =1-\frac{1}{7k+8}. $$
То есть
$$1-\frac{1}{7(k+1)+1}.$$
Следовательно, равенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.
г) Докажем, что
$$\frac{1}{4\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 12}+\cdots+\frac{1}{4n(4n+4)}=\frac{1}{16}-\frac{1}{16(n+1)}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac{1}{4\cdot 8}=\frac{1}{32}=\frac{1}{16}-\frac{1}{16\cdot 2}.$$
Пусть при $$n=k$$ верно:
$$\frac{1}{4\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 12}+\cdots+\frac{1}{4k(4k+4)}=\frac{1}{16}-\frac{1}{16(k+1)}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ \frac{1}{4\cdot 8}+\cdots+\frac{1}{4k(4k+4)}+\frac{1}{(4k+4)(4k+8)} =\frac{1}{16}-\frac{1}{16(k+1)}+\frac{1}{(4k+4)(4k+8)}. $$
$$ \frac{1}{16}-\frac{1}{16(k+1)}+\frac{1}{(4k+4)(4k+8)} =\frac{1}{16}-\frac{4k+8}{16(k+1)(4k+8)}+\frac{1}{(4k+4)(4k+8)} =\frac{1}{16}-\frac{1}{16(k+2)}. $$
Следовательно, равенство верно для всех $$n\in\mathbb N$$.