Упр.13 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Решите уравнения:
а) v(x-3)=2x-7; б) (2x+3)^(1/3)=2;
в) x-vx=12; г) x+3=v(33+x^2).
3) Решите систему уравнений:
а) {vx-vy=3, x-y=9}; б) {x+y-v(xy)=6, xy=16};
в) {vx+vy=4, x-y=8}; г) {x^2+y=7, x^2 y=12}.

1) Иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.

2)

1. а) $$\sqrt{x-3}=2x-7$$
   $$x-3=4x^2-28x+49$$
   $$4x^2-29x+52=0,$$
   $$x\ge 3,\quad 2x-7\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac72.$$
   $$D=29^2-4\cdot 4\cdot 52=9,$$
   $$x_{1,2}=\frac{29\pm 3}{8}.$$
   Получаем $$x_1=\frac{13}{4},\quad x_2=4.$$
   Проверка показывает, что подходит только $$x=4.$$
2. б) $$\sqrt[3]{2x+3}=2$$
   $$2x+3=8,$$
   $$x=\frac52.$$
3. в) $$x-\sqrt{x}=12$$
   Обозначим $$t=\sqrt{x},\quad t\ge 0.$$ Тогда
   $$t^2-t-12=0,$$
   $$\left(t-4\right)\left(t+3\right)=0.$$
   С учётом $$t\ge 0$$ получаем $$t=4,$$ значит
   $$x=16.$$
4. г) $$x+3=\sqrt{33+x^2}$$
   Возведём в квадрат:
   $$x^2+6x+9=33+x^2,$$
   $$6x=24,$$
   $$x=4.$$

3)

1. а) $$\begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=3,\\ x-y=9 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=9.$$
   Так как $$\sqrt{x}-\sqrt{y}=3,$$ то
   $$3(\sqrt{x}+\sqrt{y})=9,$$
   $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=3.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=3,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=3 \end{cases}$$
   Получаем
   $$\sqrt{x}=3,\quad \sqrt{y}=0,$$
   значит
   $$x=9,\quad y=0.$$
2. б) $$\begin{cases} x+y-\sqrt{xy}=6,\\ xy=16 \end{cases}$$
   Тогда
   $$\sqrt{xy}=4,$$
   и первое уравнение принимает вид
   $$x+y-4=6,$$
   $$x+y=10.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} x+y=10,\\ xy=16 \end{cases}$$
   Тогда
   $$x^2-10x+16=0,$$
   $$D=100-64=36,$$
   $$x_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}.$$
   Получаем пары:
   $$x=2,\ y=8;\quad x=8,\ y=2.$$
3. в) $$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\ x-y=8 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=8.$$
   Так как $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=4,$$ то
   $$4(\sqrt{x}-\sqrt{y})=8,$$
   $$\sqrt{x}-\sqrt{y}=2.$$
   Решаем систему
   $$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=4,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=2 \end{cases}$$
   Получаем
   $$\sqrt{x}=3,\quad \sqrt{y}=1,$$
   значит
   $$x=9,\quad y=1.$$
4. г) $$\begin{cases} x^2+y=7,\\ x^2y=12 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=\frac{12}{x^2}.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2+\frac{12}{x^2}=7.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$x^4-7x^2+12=0.$$
   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t^2-7t+12=0,$$
   $$\left(t-3\right)\left(t-4\right)=0.$$
   Значит,
   $$x^2=3 \quad \text{или} \quad x^2=4.$$
   Тогда:
   $$x=\pm \sqrt{3},\ y=4;$$
   $$x=\pm 2,\ y=3.$$

Ответ

1) Иррациональные уравнения — это уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

2) а) $$4$$; б) $$\frac52$$; в) $$16$$; г) $$4$$.

3) а) $$(9;0)$$; б) $$(2;8),\ (8;2)$$; в) $$(9;1)$$; г) $$(-\sqrt{3};4),\ (\sqrt{3};4),\ (-2;3),\ (2;3)$$.