Упр.128 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) {x+y=3, x^4+y^4=17};
б) {x+y+xy=0, x^3+y^3+x^3y^3=12}.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x+y=3,\\ x^4+y^4=17. \end{cases} $$
Обозначим $$t=xy$$. Тогда
$$ x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2. $$
Так как $$x+y=3$$, то
$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=9-2t. $$
Следовательно,
$$ 17=(9-2t)^2-2t^2. $$
Раскроем скобки:
$$ 17=81-36t+4t^2-2t^2, $$
$$ 2t^2-36t+64=0, $$
$$ t^2-18t+32=0. $$
Тогда
$$ D=18^2-4\cdot 32=196, $$
$$ t_1=\frac{18-14}{2}=2,\qquad t_2=\frac{18+14}{2}=16. $$
1) Если $$xy=2$$, то
$$ x(3-x)=2, $$
$$ x^2-3x+2=0, $$
$$ (x-1)(x-2)=0. $$
Отсюда $$x=1$$, $$y=2$$ или $$x=2$$, $$y=1$$.
2) Если $$xy=16$$, то
$$ x(3-x)=16, $$
$$ x^2-3x+16=0. $$
Дискриминант отрицателен, значит действительных решений нет.
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x+y+xy=0,\\ x^3+y^3+x^3y^3=12. \end{cases} $$
Обозначим $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда из первого уравнения
$$ a+b=0,\qquad b=-a. $$
Второе уравнение перепишем так:
$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=a(a^2-3b). $$
Поэтому
$$ a(a^2-3b)+b^3=12. $$
Подставим $$b=-a$$:
$$ a(a^2+3a)-a^3=12, $$
$$ 3a^2=12, $$
$$ a^2=4,\qquad a=\pm 2. $$
1) Если $$a=-2$$, то $$x+y=-2$$ и $$xy=2$$. Тогда
$$ x^2+2x+2=0, $$
дискриминант $$D=4-8=-4<0$$, действительных решений нет.
2) Если $$a=2$$, то $$x+y=2$$ и $$xy=-2$$. Тогда
$$ x(2-x)=-2, $$
$$ x^2-2x-2=0. $$
$$ D=4+8=12, $$
$$ x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=1\pm\sqrt{3}. $$
Тогда
$$ y=2-x=1\mp\sqrt{3}. $$