Упр.128 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=1/v(4x+1)-v(1-x^2), f(x_0)=0;
б) f(x)=lg(x+15)+lg(x), f(x_0)=2.

а) Пусть

$$\frac{1}{\sqrt{4x+1}}-\sqrt{1-x^2}=0.$$

Тогда

$$\frac{1}{\sqrt{4x+1}}=\sqrt{1-x^2}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\frac{1}{4x+1}=1-x^2.$$

Умножим на $$4x+1$$:

$$1=(1-x^2)(4x+1).$$

Раскроем скобки:

$$1=4x+1-4x^3-x^2,$$

$$4x^3+x^2-4x=0,$$

$$x(4x^2+x-4)=0.$$

Отсюда

$$x=0$$

или

$$4x^2+x-4=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=1+4\cdot 4\cdot 4=65,$$

$$x=\frac{-1\pm\sqrt{65}}{8}.$$

Проверим область допустимых значений:

$$4x+1>0 \Rightarrow x>-\frac14,$$

$$1-x^2\ge 0 \Rightarrow |x|\le 1.$$

Из найденных корней подходит только

$$x=\frac{\sqrt{65}-1}{8}.$$

Значит,

$$x_0=0 \text{ или } x_0=\frac{\sqrt{65}-1}{8}.$$

б) Пусть

$$\lg(x+15)+\lg x=2.$$

Объединим логарифмы:

$$\lg\bigl(x(x+15)\bigr)=2.$$

Тогда

$$x(x+15)=10^2=100,$$

$$x^2+15x-100=0.$$

Найдём корни:

$$D=15^2+4\cdot 100=225+400=625,$$

$$x=\frac{-15\pm 25}{2}.$$

Получаем

$$x_1=-20,\quad x_2=5.$$

С учётом области допустимых значений:

$$x>0,\quad x+15>0,$$

подходит только $$x=5.$$

Ответ

а) $$0;\ \frac{\sqrt{65}-1}{8}$$; б) $$5$$.