Упр.127 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {x+y-z=2, 2x-y+4z=1, -x+6y-z=5};
б) {x+y+z=-2, x-y+2z=-7, 2x+3y-z=1}.

а) Сложим первое и второе уравнения:

$$ (x+y-z)+(2x-y+4z)=2+1 $$

$$ 3x+3z=3,\quad x+z=1,\quad z=1-x. $$

Из первого уравнения системы:

$$ x+y-(1-x)=2 $$

$$ 2x+y=3,\quad y=3-2x. $$

Подставим найденные выражения во третье уравнение:

$$ -x+6(3-2x)-(1-x)=5 $$

$$ -x+18-12x-1+x=5 $$

$$ 17-12x=5,\quad 12x=12,\quad x=1. $$

Тогда

$$ y=3-2\cdot 1=1,\qquad z=1-1=0. $$

б) Вычтем второе уравнение из первого:

$$ (x+y+z)-(x-y+2z)=-2-(-7) $$

$$ 2y-z=5,\quad z=2y-5. $$

Из первого уравнения:

$$ x+y+(2y-5)=-2 $$

$$ x+3y=3,\quad x=3-3y. $$

Подставим в третье уравнение:

$$ 2(3-3y)+3y-(2y-5)=1 $$

$$ 6-6y+3y-2y+5=1 $$

$$ 11-5y=1,\quad 5y=10,\quad y=2. $$

Тогда

$$ x=3-3\cdot 2=-3,\qquad z=2\cdot 2-5=-1. $$

Ответ

а) $$\left(1;\,1;\,0\right)$$; б) $$\left(-3;\,2;\,-1\right)$$.