Упр.126 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {u+v=2, |3u-v|=1};
б) {|x-1|+|y-2|=1, y+|x-1|=3}.

1. а) Из первого уравнения системы

   $$u+v=2,\qquad v=2-u.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$|3u-v|=1 \Rightarrow |3u-(2-u)|=1 \Rightarrow |4u-2|=1.$$

   Тогда

   $$4u-2=1 \quad \text{или} \quad 4u-2=-1.$$

   Отсюда:

   $$u=\frac34,\quad v=2-\frac34=\frac54;$$

   $$u=\frac14,\quad v=2-\frac14=\frac74.$$

2. б) Обозначим

   $$a=|x-1|.$$

   Тогда система принимает вид

   $$ \begin{cases} a+|y-2|=1,\\ y+a=3. \end{cases} $$

   Из второго уравнения

   $$a=3-y.$$

   Подставим в первое:

   $$3-y+|y-2|=1,$$

   $$|y-2|-y=-2.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$y\ge 2,$$ то $$|y-2|=y-2,$$ и получаем

   $$y-2-y=-2,$$

   что верно при любом $$y\ge 2.$$

   Но из $$a=3-y\ge 0$$ следует $$y\le 3.$$ Значит, $$2\le y\le 3.$$

   Тогда

   $$|x-1|=3-y,$$

   откуда

   $$x=1\pm(3-y).$$

Ответ

а) $$\left(\frac14;\frac74\right),\ \left(\frac34;\frac54\right).$$

б) $$\left(1\pm(3-y);\ y\right),\quad 2\le y\le 3.$$