Упр.125 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) {(x-y)(x^2-y^2)=3a^3, (x+y)(x^2+y^2)=15a^3};
б) {x^2-xy+y^2=21, y^2-2xy+15=0}.

а) Обозначим

$$u=x-y,\qquad v=x+y.$$

Тогда

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=uv,$$

и система принимает вид

$$ \begin{cases} u^2v=3a^3,\\ v(x^2+y^2)=15a^3. \end{cases} $$

Но удобнее использовать суммы и частные уравнений исходной системы:

$$ (x-y)(x^2-y^2)=3a^3,\qquad (x+y)(x^2+y^2)=15a^3. $$

Первое уравнение перепишем так:

$$ (x-y)^2(x+y)=3a^3. $$

Сложим уравнения:

$$ (x+y)\bigl((x-y)^2+(x^2+y^2)\bigr)=18a^3. $$

Так как

$$ (x-y)^2+(x^2+y^2)=2x^2-2xy+2y^2=2(x^2-xy+y^2), $$

получаем

$$ 2(x+y)(x^2-xy+y^2)=18a^3, $$

$$ (x+y)(x^2-xy+y^2)=9a^3. $$

Делим это равенство на первое:

$$ \frac{x^2-xy+y^2}{(x-y)^2}=\frac{9a^3}{3a^3}=3. $$

Отсюда

$$ x^2-xy+y^2=3(x^2-2xy+y^2), $$

$$ 2x^2-5xy+2y^2=0. $$

Решим как квадратное уравнение относительно $x$:

$$ 2x^2-5xy+2y^2=0. $$

$$ D=(5y)^2-4\cdot 2\cdot 2y^2=25y^2-16y^2=9y^2. $$

$$ x=\frac{5y\pm 3y}{4}. $$

Тогда

$$ x=\frac{y}{2}\quad \text{или}\quad x=2y. $$

1) Если $$x=\frac{y}{2},$$ то

$$ \left(\frac{y}{2}-y\right)\left(\frac{y^2}{4}-y^2\right)=3a^3, $$

$$ \left(-\frac{y}{2}\right)\left(-\frac{3y^2}{4}\right)=3a^3, $$

$$ \frac{3y^3}{8}=3a^3,\qquad y^3=8a^3,\qquad y=2a,\qquad x=a. $$

2) Если $$x=2y,$$ то

$$ (2y-y)(4y^2-y^2)=3a^3, $$

$$ 3y^3=3a^3,\qquad y^3=a^3,\qquad y=a,\qquad x=2a. $$

б) Из первого уравнения:

$$ x^2-xy+y^2=21. $$

Умножим его на $5$:

$$ 5x^2-5xy+5y^2=105. $$

Второе уравнение умножим на $7$:

$$ 7y^2-14xy+105=0, $$

$$ -14xy+7y^2=-105. $$

Сложим полученные равенства:

$$ 5x^2-19xy+12y^2=0. $$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $x$:

$$ 5x^2-19xy+12y^2=0. $$

$$ D=(19y)^2-4\cdot 5\cdot 12y^2=361y^2-240y^2=121y^2. $$

$$ x=\frac{19y\pm 11y}{10}. $$

Получаем:

$$ x=3y \quad \text{или}\quad x=\frac{4y}{5}. $$

1) Если $$x=\frac{4y}{5},$$ то из первого уравнения:

$$ \left(\frac{16y^2}{25}\right)-\left(\frac{4y^2}{5}\right)+y^2=21, $$

$$ \frac{21y^2}{25}=21,\qquad y^2=25,\qquad y=\pm 5. $$

Тогда

$$ x=\frac{4}{5}y=\pm 4. $$

Получаем точки $$(-4,-5)$$ и $$(4,5).$$

2) Если $$x=3y,$$ то из первого уравнения:

$$ 9y^2-3y^2+y^2=21, $$

$$ 7y^2=21,\qquad y^2=3,\qquad y=\pm \sqrt{3}. $$

Тогда

$$ x=3y=\pm 3\sqrt{3}. $$

Получаем точки $$(-3\sqrt{3},-\sqrt{3})$$ и $$(3\sqrt{3},\sqrt{3}).$$

Ответ

а) $$(a;2a),\ (2a;a).$$

б) $$(-4;-5),\ (4;5),\ (-3\sqrt{3};-\sqrt{3}),\ (3\sqrt{3};\sqrt{3}).$$