Упр.124 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 124. Докажите неравенства v((a+c)(b+d))?v(ab)+v(cd) (a?0, b?0, c?0, d?0).

Так как $$a \ge 0,\ b \ge 0,\ c \ge 0,\ d \ge 0,$$ то можно возвести обе части неравенства в квадрат:

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$

После возведения в квадрат получаем:

$$ (a+c)(b+d) \ge ab + 2\sqrt{abcd} + cd.$$

Раскроем скобки в левой части:

$$ab+ad+cb+cd \ge ab + 2\sqrt{abcd} + cd.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ad+cb \ge 2\sqrt{abcd}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ad — 2\sqrt{abcd} + cb \ge 0.$$

Но

$$ad — 2\sqrt{abcd} + cb = \left(\sqrt{ad}-\sqrt{cb}\right)^2 \ge 0.$$

Следовательно, исходное неравенство верно.

Ответ

$$\sqrt{(a+c)(b+d)} \ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$