Упр.123 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 123. Докажите неравенства 5a^2-6ab+5b^2 > 0 (a^2+b^2?0).

Преобразуем левую часть неравенства:

$$5a^2-6ab+5b^2=(a^2+2ab+b^2)+4a^2-8ab+4b^2.$$

Тогда

$$5a^2-6ab+5b^2=(a+b)^2+4(a-b)^2.$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$ (a+b)^2 \ge 0,\qquad 4(a-b)^2 \ge 0,$$

следовательно,

$$5a^2-6ab+5b^2 \ge 0.$$

Равенство возможно только при

$$a+b=0,\qquad a-b=0,$$

откуда $$a=0,\ b=0.$$

Значит, при $$a^2+b^2\ne 0$$ одновременно оба квадрата не могут обращаться в нуль, поэтому

$$5a^2-6ab+5b^2>0.$$

Ответ

$$5a^2-6ab+5b^2>0 \quad \text{при} \quad a^2+b^2\ne 0.$$