Упр.120 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) a^2+b^2+c^2?ab+ac+bc;
б) (a+b)(b+c)(c+a)?8abc (a?0, b?0, c?0);
в) если a+b+c=1, то a^2+b^2+c^2?1/3;
г) a^4+b^4+c^4?abc(a+b+c).

Подробный ответ

Докажем неравенство
$$a^2+b^2+c^2 \ge ab+ac+bc.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \ge 0.$$
Преобразуем:
$$\frac12\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\bigr)\ge 0.$$
Так как сумма квадратов неотрицательна, неравенство верно.
Докажем неравенство
$$ (a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc,\qquad a\ge 0,\ b\ge 0,\ c\ge 0.$$
По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:
$$a+b\ge 2\sqrt{ab},\qquad b+c\ge 2\sqrt{bc},\qquad c+a\ge 2\sqrt{ca}.$$
Перемножим эти неравенства:
$$ (a+b)(b+c)(c+a)\ge 8\sqrt{ab\cdot bc\cdot ca}=8abc.$$
Если $$a+b+c=1,$$ то докажем, что
$$a^2+b^2+c^2\ge \frac13.$$
Возведём сумму в квадрат:
$$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=1.$$
Из пункта а) имеем
$$ab+ac+bc\le a^2+b^2+c^2.$$
Тогда
$$1=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)\le 3(a^2+b^2+c^2).$$
Следовательно,
$$a^2+b^2+c^2\ge \frac13.$$
Докажем неравенство
$$a^4+b^4+c^4\ge abc(a+b+c).$$
Рассмотрим сумму:
$$\frac{a^4+b^4}{2}\ge a^2b^2,\qquad \frac{a^4+c^4}{2}\ge a^2c^2,\qquad \frac{b^4+c^4}{2}\ge b^2c^2.$$
Складывая, получаем
$$a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2.$$
Далее по неравенству AM-GM:
$$a^2b^2\ge abc\cdot ab,\qquad a^2c^2\ge abc\cdot ac,\qquad b^2c^2\ge abc\cdot bc,$$
откуда
$$a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\ge abc(a+b+c).$$
Значит,
$$a^4+b^4+c^4\ge abc(a+b+c).$$