Упр.12 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6;
б) 1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2=n(2n-1)(2n+1)/3;
в) 1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1);
г) 1·1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1.

Подробный ответ

а) Докажем по индукции, что
$$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
При $$n=1$$:
$$1^2=1=\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1^2+2^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 $$
$$ =\frac{(k+1)\bigl(k(2k+1)+6(k+1)\bigr)}{6} =\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6} $$
$$ =\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}. $$
Это и есть формула при $$n=k+1$$. Следовательно, равенство доказано.
б) Докажем, что
$$1^2+3^2+5^2+\dots+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.$$
При $$n=1$$:
$$1^2=1=\frac{1\cdot(2\cdot1-1)\cdot(2\cdot1+1)}{3}.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1^2+3^2+\dots+(2k-1)^2=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1^2+3^2+\dots+(2k-1)^2+(2k+1)^2 =\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2 $$
$$ =\frac{(2k+1)\bigl(k(2k-1)+3(2k+1)\bigr)}{3} =\frac{(2k+1)(2k^2+5k+3)}{3} $$
$$ =\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}. $$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb{N}$$.
в) Докажем, что
$$1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1).$$
При $$n=1$$:
$$1^3=1=1^2(2\cdot1^2-1).$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1^3+3^3+\dots+(2k-1)^3=k^2(2k^2-1).$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1^3+3^3+\dots+(2k-1)^3+(2k+1)^3 =k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3 $$
$$ =2k^4+8k^3+11k^2+6k+1 $$
$$ =(k+1)^2(2k^2+4k+1) =(k+1)^2\bigl(2(k+1)^2-1\bigr). $$
Значит, равенство доказано.
г) Докажем, что
$$1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1.$$
При $$n=1$$:
$$1\cdot1!=1=(1+1)!-1.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1\cdot1!+2\cdot2!+\dots+k\cdot k!=(k+1)!-1.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1\cdot1!+2\cdot2!+\dots+k\cdot k!+(k+1)(k+1)! =\bigl((k+1)!-1\bigr)+(k+1)(k+1)! $$
$$ =(k+1)!\bigl(1+k+1\bigr)-1 =(k+2)(k+1)!-1 =((k+1)+1)!-1. $$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb{N}$$.