Упр.12 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Постройте график функции и найдите ее производную:
а) y=x^7; б) y=x^(-4); в) y=x^(-0,3); г) y=x^v2.
3) Найдите приближенное значение:
а) 32,02^(1/5); б) 127,9^(1/7);
в) 64,3^(1/3); г) 80,6^(1/4).

1) Для степенной функции $$y=x^\alpha$$ производная равна

$$y’=\alpha x^{\alpha-1}.$$

2) Найдём производные данных функций:

1. $$y=x^7,$$
   $$y’=7x^6.$$
2. $$y=x^{-4},$$
   $$y’=-4x^{-5}.$$
3. $$y=x^{-0,3},$$
   $$y’=-0,3x^{-1,3}.$$
4. $$y=x^{\sqrt2},$$
   $$y’=\sqrt2\,x^{\sqrt2-1}.$$

3) Для приближённого вычисления используем формулу линейного приближения:

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x.$$

1. $$f(x)=x^{1/5},\quad x_0=32,\quad \Delta x=0,02.$$

   Так как $$32=2^5,$$ то $$f(32)=2,$$ а

   $$f'(x)=\frac15x^{-4/5},\qquad f'(32)=\frac15\cdot\frac1{16}=\frac1{80}.$$

   Тогда

   $$f(32,02)\approx 2+\frac1{80}\cdot0,02=2,00025.$$

2. $$f(x)=x^{1/7},\quad x_0=128,\quad \Delta x=-0,1.$$

   Так как $$128=2^7,$$ то $$f(128)=2,$$ а

   $$f'(x)=\frac17x^{-6/7},\qquad f'(128)=\frac17\cdot\frac1{64}=\frac1{448}.$$

   Тогда

   $$f(127,9)\approx 2+\frac1{448}\cdot(-0,1)\approx 1,9998.$$

3. $$f(x)=x^{1/3},\quad x_0=64,\quad \Delta x=0,3.$$

   Так как $$64=4^3,$$ то $$f(64)=4,$$ а

   $$f'(x)=\frac13x^{-2/3},\qquad f'(64)=\frac13\cdot\frac1{16}=\frac1{48}.$$

   Тогда

   $$f(64,3)\approx 4+\frac1{48}\cdot0,3=4,00625.$$

4. $$f(x)=x^{1/4},\quad x_0=81,\quad \Delta x=-0,4.$$

   Так как $$81=3^4,$$ то $$f(81)=3,$$ а

   $$f'(x)=\frac14x^{-3/4},\qquad f'(81)=\frac14\cdot\frac1{27}=\frac1{108}.$$

   Тогда

   $$f(80,6)\approx 3+\frac1{108}\cdot(-0,4)\approx 2,9963.$$

Ответ

1) $$y’=\alpha x^{\alpha-1}.$$

2) а) $$7x^6$$; б) $$-4x^{-5}$$; в) $$-0,3x^{-1,3}$$; г) $$\sqrt2\,x^{\sqrt2-1}$$.

3) а) $$2,00025$$; б) $$1,9998$$; в) $$4,00625$$; г) $$2,9963$$.