Упр.119 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (a+b)/2?v(ab) (a > 0, b > 0); б) a+1/a?2 (a > 0);
в) (a+b+c+d)/4?(abcd)^(1/4) (a, b, c, d — положительные числа);
г) (a+b+c)/3?(abc)^(1/3) (a > 0), b > 0, c > 0).

а) Докажем неравенство

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}, \quad a>0,\ b>0.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a+b\ge 2\sqrt{ab}.$$

Тогда

$$a-2\sqrt{ab}+b\ge 0,$$

$$\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2\ge 0.$$

Это верно при любых положительных $a$ и $b$.

б) Докажем неравенство

$$a+\frac1a\ge 2,\quad a>0.$$

Умножим на $a$:

$$a^2+1\ge 2a.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2-2a+1\ge 0,$$

$$\left(a-1\right)^2\ge 0.$$

Следовательно, неравенство верно.

в) Докажем неравенство

$$\frac{a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{abcd}, \quad a,b,c,d>0.$$

Обозначим

$$S=\frac{a+b+c+d}{4}=\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2}.$$

По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух чисел имеем:

$$S\ge \sqrt{\frac{a+b}{2}\cdot \frac{c+d}{2}}.$$

Далее

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}, \qquad \frac{c+d}{2}\ge \sqrt{cd}.$$

Значит,

$$S\ge \sqrt{\sqrt{ab}\cdot \sqrt{cd}}=\sqrt[4]{abcd}.$$

г) Докажем неравенство

$$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}, \quad a,b,c>0.$$

Положим

$$d=\frac{a+b+c}{3}.$$

Тогда

$$\frac{a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{abcd}.$$

Подставим $d$:

$$\frac{a+b+c+\frac{a+b+c}{3}}{4}\ge \sqrt[4]{abc\cdot \frac{a+b+c}{3}}.$$

Левая часть равна

$$\frac{4(a+b+c)}{12}=\frac{a+b+c}{3}.$$

Получаем

$$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[4]{abc\cdot \frac{a+b+c}{3}}.$$

Возведём обе части в четвёртую степень:

$$\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^4\ge abc\cdot \frac{a+b+c}{3}.$$

Так как $$\frac{a+b+c}{3}>0,$$ делим на эту величину:

$$\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\ge abc.$$

Следовательно,

$$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}.$$

Ответ

Во всех пунктах неравенства доказаны.