Упр.118 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) |x^2-2x| < x; б) 3x^2-|x-3| > 9x-2.

а) $$|x^2-2x|<x$$

Так как левая часть неотрицательна, то необходимо $$x>0.$$ Тогда можно рассмотреть два случая:

$$x^2-2x<x,$$
$$x^2-3x<0,$$
$$x(x-3)<0,$$
откуда $$0<x<3.$$

$$x^2-2x>-x,$$
$$x^2-x>0,$$
$$x(x-1)>0,$$
откуда $$x<0 \text{ или } x>1.$$

С учётом условия $$x>0$$ получаем пересечение решений:

$$1<x<3.$$

б) $$3x^2-|x-3|>9x-2$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$, и неравенство принимает вид

$$3x^2-x+3>9x-2,$$
$$3x^2-10x+5>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=100-60=40,$$
$$x=\frac{10\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{5\pm\sqrt{10}}{3}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$3x^2-10x+5>0 \quad \text{при} \quad x<\frac{5-\sqrt{10}}{3} \text{ или } x>\frac{5+\sqrt{10}}{3}.$$

С учётом условия $$x\ge 3$$ получаем:

$$x>\frac{5+\sqrt{10}}{3}.$$

2) Если $$x\le 3$$, то $$|x-3|=3-x$$, и неравенство принимает вид

$$3x^2+x-3>9x-2,$$
$$3x^2-8x-1>0.$$

Найдём корни:

$$D=64+12=76,$$
$$x=\frac{8\pm\sqrt{76}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{19}}{3}.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$3x^2-8x-1>0 \quad \text{при} \quad x<\frac{4-\sqrt{19}}{3} \text{ или } x>\frac{4+\sqrt{19}}{3}.$$

С учётом условия $$x\le 3$$ получаем:

$$x<\frac{4-\sqrt{19}}{3} \text{ или } \frac{4+\sqrt{19}}{3}<x\le 3.$$

Объединяя результаты двух случаев, получаем:

$$x<\frac{4-\sqrt{19}}{3} \text{ или } x>\frac{5+\sqrt{10}}{3}.$$

Ответ

а) $$\left(1;3\right)$$;
б) $$\left(-\infty;\frac{4-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{5+\sqrt{10}}{3};+\infty\right).$$