Упр.117 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) x^18-x^13+x^10-x^7+x^2-x+1 > 0;
б) x^12-x^9+x^4-x+1 < 0.

а) Рассмотрим выражение

$$x^{18}-x^{13}+x^{10}-x^7+x^2-x+1.$$

Разобьём его на группы:

$$\bigl(x^{18}-x^{13}\bigr)+\bigl(x^{10}-x^7\bigr)+\bigl(x^2-x\bigr)+1.$$

Если $$x<0,$$ то

$$x^{18}+x^{10}+x^2+1>0,\qquad x^{13}+x^7+x<0,$$

значит,

$$\bigl(x^{18}+x^{10}+x^2+1\bigr)-\bigl(x^{13}+x^7+x\bigr)>0.$$

Если $$0<x<1,$$ то

$$x^{18}-x^{13}>0?$$

Удобнее переписать так:

$$x^{18}+\bigl(x^{10}-x^{13}\bigr)+\bigl(x^2-x^7\bigr)+(1-x).$$

При $$0<x<1$$ имеем $$x^{10}-x^{13}>0,$$ $$x^2-x^7>0,$$ $$1-x>0,$$ а также $$x^{18}>0,$$ поэтому всё выражение положительно.

Если $$x>1,$$ то

$$\bigl(x^{18}-x^{13}\bigr)+\bigl(x^{10}-x^7\bigr)+\bigl(x^2-x\bigr)+1>0,$$

так как каждое из разностей $$x^{18}-x^{13},\ x^{10}-x^7,\ x^2-x$$ положительно, а $$1>0.$$

Следовательно, неравенство выполняется при всех действительных $$x.$$

б) Рассмотрим выражение

$$x^{12}-x^9+x^4-x+1.$$

Если $$x<0,$$ то

$$x^{12}+x^4+1>0,\qquad x^9+x<0,$$

поэтому

$$\bigl(x^{12}+x^4+1\bigr)-\bigl(x^9+x\bigr)>0.$$

Если $$0<x<1,$$ то

$$x^{12}>0,\qquad x^4-x^9>0,\qquad 1-x>0,$$

значит,

$$x^{12}+\bigl(x^4-x^9\bigr)+(1-x)>0.$$

Если $$x>1,$$ то

$$x^{12}-x^9>0,\qquad x^4-x>0,\qquad 1>0,$$

следовательно,

$$\bigl(x^{12}-x^9\bigr)+\bigl(x^4-x\bigr)+1>0.$$

Во всех случаях левая часть положительна, поэтому неравенство

$$x^{12}-x^9+x^4-x+1<0$$

не имеет решений.

Ответ

а) $$(-\infty;+\infty)$$; б) $$\varnothing$$.