Упр.117 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=(1/2)^x-4; б) y=log(4; x+3);
в) y=2-3^x; г) y=vx-4.

1. $$y=\left(\frac12\right)^x-4$$

   Найдём, где функция положительна:

   $$\left(\frac12\right)^x-4>0$$

   $$\left(\frac12\right)^x>4=2^2$$

   $$2^{-x}>2^2$$

   $$-x>2,\quad x<-2$$

   Значит, $$y>0$$ при $$x<-2$$, а $$y<0$$ при $$x>-2$$.

2. $$y=\log_4(x+3)$$

   Область определения: $$x+3>0,\quad x>-3$$.

   Найдём, где функция положительна и отрицательна:

   $$\log_4(x+3)>0 \iff x+3>1 \iff x>-2$$

   $$\log_4(x+3)<0 \iff 0<x+3<1 \iff -3<x<-2$$

   Следовательно, $$y>0$$ при $$x>-2$$, а $$y<0$$ при $$-3<x<-2$$.

3. $$y=2-3^x$$

   Найдём, где функция положительна:

   $$2-3^x>0$$

   $$3^x<2$$

   $$x<\log_3 2$$

   Значит, $$y>0$$ при $$x<\log_3 2$$, а $$y<0$$ при $$x>\log_3 2$$.

4. $$y=\sqrt{x}-4$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   Найдём, где функция положительна:

   $$\sqrt{x}-4>0$$

   $$\sqrt{x}>4$$

   $$x>16$$

   Тогда $$y>0$$ при $$x>16$$, а $$y<0$$ при $$0\le x<16$$.

Ответ

а) $$y>0$$ при $$x<-2$$, $$y<0$$ при $$x>-2$$;

б) $$y>0$$ при $$x>-2$$, $$y<0$$ при $$-3<x<-2$$;

в) $$y>0$$ при $$x<\log_3 2$$, $$y<0$$ при $$x>\log_3 2$$;

г) $$y>0$$ при $$x>16$$, $$y<0$$ при $$0\le x<16$$.