Упр.115 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) (x^2+3x+1)(x^2+3x-3)?5;
б) 3(x-1)(x+2)^2/((x^2+1)(x+1)^2(x-2))?0;

а) Обозначим $$y=x^2+3x-1.$$ Тогда

$$ (x^2+3x+1)(x^2+3x-3)\ge 5 $$

$$ (y+2)(y-2)\ge 5 $$

$$ y^2-4\ge 5 $$

$$ y^2-9\ge 0 $$

$$ (y-3)(y+3)\ge 0 $$

Отсюда

$$ y\le -3 \quad \text{или} \quad y\ge 3. $$

1) Если $$x^2+3x-1\le -3,$$ то

$$ x^2+3x+2\le 0 $$

$$ (x+2)(x+1)\le 0 $$

$$ -2\le x\le -1. $$

2) Если $$x^2+3x-1\ge 3,$$ то

$$ x^2+3x-4\ge 0 $$

$$ (x+4)(x-1)\ge 0 $$

$$ x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 1. $$

Итак,

$$ x\in (-\infty;-4]\cup[-2;-1]\cup[1;+\infty). $$

б) Рассмотрим неравенство

$$ \frac{3(x-1)(x+2)^2}{(x^2+1)(x+1)^2(x-2)}\ge 0. $$

Область определения: $$x\ne -1,\; x\ne 2.$$

Так как $$3>0,$$ $$x^2+1>0$$ при всех $$x,$$ а $$ (x+2)^2\ge 0,$$ знак дроби определяется выражением

$$ \frac{x-1}{x-2}. $$

Тогда нужно решить систему условий:

$$ \frac{x-1}{x-2}\ge 0,\qquad x\ne -1,\qquad x\ne 2. $$

Исследуем знак дроби:

$$ \frac{x-1}{x-2}\ge 0 \quad \Longrightarrow \quad x\in (-\infty;1]\cup(2;+\infty). $$

С учётом ОДЗ исключаем $$x=-1$$ и $$x=2.$$

Получаем

$$ x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1]\cup(2;+\infty). $$

Ответ

а) $$(-\infty;-4]\cup[-2;-1]\cup[1;+\infty)$$;

б) $$(-\infty;-1)\cup(-1;1]\cup(2;+\infty).$$