Упр.114 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) |x-1|+2|-1|+1|=2;
б) 2|x+6|-|x|-|x-6|=18;
в) |2x-3|=|x^2-2x-6|;
г) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2.

Подробный ответ

а) $$|x-1|+2|-1|+1|=2$$
Так как $$|-1|=1$$ и $$|1|=1$$, получаем:
$$|x-1|+2+1=2$$
$$|x-1|+3=2$$
$$|x-1|=-1$$
Это невозможно, так как модуль неотрицателен. Следовательно, решений нет.
б) $$2|x+6|-|x|-|x-6|=18$$
Рассмотрим промежутки:
1) Если $$x\le -6$$, то
$$2(-x-6)-(-x)-(-x+6)=18$$
$$-2x-12+x+x-6=18$$
$$-18=18$$
Решений нет.
2) Если $$-6\le x\le 0$$, то
$$2(x+6)-(-x)-(-x+6)=18$$
$$2x+12+x+x-6=18$$
$$4x=12$$
$$x=3$$
Но $$3\notin[-6;0]$$, значит, не подходит.
3) Если $$0\le x\le 6$$, то
$$2(x+6)-x-(6-x)=18$$
$$2x+12-x-x+6=18$$
$$18=18$$
Подходит любое $$x$$ из этого промежутка.
4) Если $$x\ge 6$$, то
$$2(x+6)-x-(x-6)=18$$
$$2x+12-x-x+6=18$$
$$18=18$$
Подходит любое $$x\ge 6$$.
Итак, $$x\in[0;+\infty)$$.
в) $$|2x-3|=|x^2-2x-6|$$
Рассмотрим два случая:
1) $$2x-3=x^2-2x-6$$
$$x^2-4x-3=0$$
$$D=16+12=28$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2}=2\pm\sqrt7$$
2) $$2x-3=-(x^2-2x-6)$$
$$2x-3=-x^2+2x+6$$
$$x^2=9$$
$$x=\pm 3$$
Ответ: $$2\pm\sqrt7,\,-3,\,3$$.
г) $$|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2$$
Рассмотрим промежутки:
1) Если $$x\le -1$$, то
$$-(x+1)-(-x)+3(1-x)-2(2-x)=x+2$$
$$-x-1+x+3-3x-4+2x=x+2$$
$$-x-2=x+2$$
$$x=-2$$
2) Если $$-1\le x\le 0$$, то
$$x+1-(-x)+3(1-x)-2(2-x)=x+2$$
$$x+1+x+3-3x-4+2x=x+2$$
$$x=x+2$$
Решений нет.
3) Если $$0\le x\le 1$$, то
$$x+1-x+3(1-x)-2(2-x)=x+2$$
$$1+3-3x-4+2x=x+2$$
$$-x=x+2$$
$$x=-1$$
Не подходит.
4) Если $$1\le x\le 2$$, то
$$x+1-x+3(x-1)-2(2-x)=x+2$$
$$1+3x-3-4+2x=x+2$$
$$5x-6=x+2$$
$$x=2$$
5) Если $$x\ge 2$$, то
$$x+1-x+3(x-1)-2(x-2)=x+2$$
$$1+3x-3-2x+4=x+2$$
$$x+2=x+2$$
Подходит любое $$x\ge 2$$.
Итак, $$x\in\{-2\}\cup[2;+\infty)$$.