Упр.114 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) y=v(x^2-5x+6)/lg(x+10)^2; б) y=vlog(5; cos(x));
в) y=ln(3x-2)/(x^2-x-2); г) y=(lg(3x^2-2x))^(1/4).
а) Для функции $$y=\dfrac{\sqrt{x^2-5x+6}}{\lg^2(x+10)}$$ нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:
$$x^2-5x+6\ge 0,\qquad \lg(x+10)\ne 0.$$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$
Тогда
$$ (x-2)(x-3)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 2 \text{ или } x\ge 3.$$
Кроме того,
$$\lg(x+10)\ne 0 \;\Rightarrow\; x+10\ne 1 \;\Rightarrow\; x\ne -9,$$
и обязательно $$x+10>0,$$ то есть $$x>-10.$$
Итак,
$$D=(-10;-9)\cup(-9;2]\cup[3;+\infty).$$
б) Для функции $$y=\sqrt{\log_5(\cos x)}$$ нужно:
$$\log_5(\cos x)\ge 0,\qquad \cos x>0.$$
Так как основание $$5>1,$$ то
$$\log_5(\cos x)\ge 0 \;\Rightarrow\; \cos x\ge 1.$$
Но $$\cos x\le 1,$$ значит возможно только
$$\cos x=1.$$
Отсюда
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$D=\{2\pi n\mid n\in\mathbb Z\}.$$
в) Для функции $$y=\dfrac{\ln(3x-2)}{x^2-x-2}$$ требуется:
$$3x-2>0,\qquad x^2-x-2\ne 0.$$
Из первого неравенства получаем
$$x>\frac23.$$
Знаменатель раскладывается на множители:
$$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$
Значит,
$$x\ne 2,\qquad x\ne -1.$$
С учётом условия $$x>\frac23$$ точка $$-1$$ не подходит автоматически, остаётся исключить только $$x=2.$$
Итак,
$$D=\left(\frac23;2\right)\cup(2;+\infty).$$
г) Для функции $$y=\sqrt[4]{\lg(3x^2-2x)}$$ нужно, чтобы
$$\lg(3x^2-2x)\ge 0,\qquad 3x^2-2x>0.$$
Так как основание логарифма 10 больше 1, то
$$\lg(3x^2-2x)\ge 0 \;\Rightarrow\; 3x^2-2x\ge 1.$$
Получаем неравенство
$$3x^2-2x-1\ge 0.$$
Найдём корни:
$$3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1).$$
Тогда
$$ (3x+1)(x-1)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -\frac13 \text{ или } x\ge 1.$$
Следовательно,
$$D=\left(-\infty;-\frac13\right]\cup[1;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-10;-9)\cup(-9;2]\cup[3;+\infty)$$; б) $$\{2\pi n\mid n\in\mathbb Z\}$$; в) $$\left(\frac23;2\right)\cup(2;+\infty)$$; г) $$\left(-\infty;-\frac13\right]\cup[1;+\infty).$$
