Упр.113 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=v(x^2·3^x-3^(x+1)); б) y=(2^sin(x)-1)^(1/8);
в) y=log(3; 4-3x+x^2); г) y=log(2; sin(x)).

1. Для функции $$y=\sqrt{x^2\cdot 3^x-3^{x+1}}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x^2\cdot 3^x-3^{x+1}\ge 0$$

   Вынесем общий множитель $$3^x$$:

   $$3^x(x^2-3)\ge 0$$

   Так как $$3^x>0$$ при любом $$x$$, получаем:

   $$x^2-3\ge 0$$

   $$x^2\ge 3$$

   $$|x|\ge \sqrt{3}$$

   Значит,

   $$D(y)=(-\infty;-\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3};+\infty).$$

2. Для функции $$y=\left(2^{\sin x}-1\right)^{\frac18}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$2^{\sin x}-1\ge 0$$

   $$2^{\sin x}\ge 1$$

   Так как основание $$2>1$$, то

   $$\sin x\ge 0$$

   Следовательно,

   $$x\in [2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. Для функции $$y=\log_3(4-3x+x^2)$$ аргумент логарифма должен быть положительным:

   $$4-3x+x^2>0$$

   $$x^2-3x+4>0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0.$$

   Так как старший коэффициент положителен, квадратный трёхчлен всегда положителен. Значит,

   $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

4. Для функции $$y=\log_2(\sin x)$$ аргумент логарифма должен быть положительным:

   $$\sin x>0$$

   Это выполняется при

   $$x\in (2\pi n;\,\pi+2\pi n),\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$(-\infty;-\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3};+\infty)$$;

б) $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\ n\in \mathbb{Z}$$;

в) $$(-\infty;+\infty)$$;

г) $$ (2\pi n;\,\pi+2\pi n),\ n\in \mathbb{Z}.$$