Упр.112 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) x^2+9x^2/(3+x)^2=7;
б) x^2+x^2/(1+x)^2=1.
а) Рассмотрим уравнение
$$x^2+\frac{9x^2}{(x+3)^2}=7.$$
Преобразуем его:
$$\left(x-\frac{3x}{x+3}\right)^2+\frac{6x^2}{x+3}=7.$$
Так как
$$x-\frac{3x}{x+3}=\frac{x^2}{x+3},$$
то получаем
$$\left(\frac{x^2}{x+3}\right)^2+\frac{6x^2}{x+3}=7.$$
Пусть
$$y=\frac{x^2}{x+3}.$$
Тогда
$$y^2+6y=7,$$
$$y^2+6y-7=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=6^2+4\cdot 7=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=-7,\qquad y_2=1.$$
1) Если
$$\frac{x^2}{x+3}=-7,$$
то
$$x^2+7x+21=0,$$
$$D=7^2-4\cdot 21=49-84=-35<0,$$
действительных корней нет.
2) Если
$$\frac{x^2}{x+3}=1,$$
то
$$x^2=x+3,$$
$$x^2-x-3=0.$$
Тогда
$$D=1+12=13,$$
$$x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}.$$
б) Рассмотрим уравнение
$$x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=1.$$
Преобразуем его:
$$\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}=1.$$
Так как
$$x-\frac{x}{x+1}=\frac{x^2}{x+1},$$
то
$$\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}=1.$$
Пусть
$$y=\frac{x^2}{x+1}.$$
Тогда
$$y^2+2y=1,$$
$$y^2+2y-1=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=2^2+4=8,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}=-1\pm \sqrt{2}.$$
1) Если
$$\frac{x^2}{x+1}=-1-\sqrt{2},$$
то
$$x^2+(1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})=0,$$
$$D=(1+\sqrt{2})^2-4(1+\sqrt{2})=-1-2\sqrt{2}<0,$$
действительных корней нет.
2) Если
$$\frac{x^2}{x+1}=\sqrt{2}-1,$$
то
$$x^2+(1-\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})=0.$$
Тогда
$$D=(1-\sqrt{2})^2-4(1-\sqrt{2})=-1+2\sqrt{2},$$
$$x=\frac{\sqrt{2}-1\pm \sqrt{-1+2\sqrt{2}}}{2}.$$
Ответ
а) $$x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2};$$ б) $$x=\frac{\sqrt{2}-1\pm \sqrt{-1+2\sqrt{2}}}{2}.$$
