Упр.111 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$$

   Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

   $$ y=2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right) =2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}-\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right) =2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right). $$

   Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

   $$ -2\le 2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\le 2. $$

   Следовательно, $$E(y)=[-2;2].$$

2. б) $$y=\frac{3}{1+\tg^2 x}$$

   Положим $$\tg x=z,$$ тогда $$z\in \mathbb{R}$$ и

   $$ y=\frac{3}{1+z^2}. $$

   Так как $$z^2\ge 0,$$ то $$1+z^2\ge 1,$$ значит

   $$ 0<\frac{3}{1+z^2}\le 3. $$

   Следовательно, $$E(y)=(0;3].$$

3. в) $$y=\sqrt{1-\cos 4x}$$

   Из неравенства $$-1\le \cos 4x\le 1$$ получаем:

   $$ 0\le 1-\cos 4x\le 2. $$

   Тогда

   $$ 0\le \sqrt{1-\cos 4x}\le \sqrt2. $$

   Следовательно, $$E(y)=[0;\sqrt2].$$

4. г) $$y=\frac{2}{1+\ctg^2 x}$$

   Используем тождество $$1+\ctg^2 x=\csc^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}.$$ Тогда

   $$ y=\frac{2}{1+\ctg^2 x}=2\sin^2 x. $$

   Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то

   $$ 0\le 2\sin^2 x\le 2. $$

   Следовательно, $$E(y)=[0;2].$$

Ответ

а) $$[-2;2]$$;
б) $$(0;3]$$;
в) $$[0;\sqrt2]$$;
г) $$[0;2]$$.