Упр.110 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) x^4+4x-1=0;
б) x^4-4x^3-1=0.

а) Преобразуем уравнение:

$$x^4+4x-1=0$$

$$x^4+2x^2+1-2x^2+4x-2=0$$

$$\left(x^2+1\right)^2-2\left(x-1\right)^2=0$$

$$x^2+1=\pm \sqrt2\,(x-1)$$

Рассмотрим два случая.

1) $$x^2+1=-\sqrt2\,x+\sqrt2$$

$$x^2+\sqrt2\,x+1-\sqrt2=0$$

$$D=2-4(1-\sqrt2)=4\sqrt2-2$$

$$x=\frac{-\sqrt2\pm\sqrt{4\sqrt2-2}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{2\sqrt2-1}}{\sqrt2}$$

2) $$x^2+1=\sqrt2\,x-\sqrt2$$

$$x^2-\sqrt2\,x+1-\sqrt2=0$$

$$D=2-4(1-\sqrt2)=4\sqrt2-2$$

$$x=\frac{\sqrt2\pm\sqrt{4\sqrt2-2}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{2\sqrt2-1}}{\sqrt2}$$

б) Запишем уравнение в виде

$$1-\frac{4}{x}-\frac{1}{x^4}=0$$

Пусть $$y=\frac1x$$, тогда

$$1-4y-4y^2=0$$

$$4y^2+4y-1=0$$

$$4y^2+4y-1=0$$

$$y^4+2y^2+1-2y^2+4y-2=0$$

$$\left(y^2+1\right)^2-2\left(y-1\right)^2=0$$

$$y^2+1=\pm \sqrt2\,(y-1)$$

1) $$y^2+1=-\sqrt2\,y+\sqrt2$$

$$y^2+\sqrt2\,y+1-\sqrt2=0$$

$$y=\frac{-\sqrt2\pm\sqrt{4\sqrt2-2}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{2\sqrt2-1}}{\sqrt2}$$

2) $$y^2+1=\sqrt2\,y-\sqrt2$$

$$y^2-\sqrt2\,y+1-\sqrt2=0$$

$$y=\frac{\sqrt2\pm\sqrt{4\sqrt2-2}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{2\sqrt2-1}}{\sqrt2}$$

Так как $$y=\frac1x$$, получаем

$$x=\frac{\sqrt2}{-1\pm\sqrt{2\sqrt2-1}},\qquad x=\frac{\sqrt2}{1\pm\sqrt{2\sqrt2-1}}$$

Ответ

а) $$x=\frac{-1\pm\sqrt{2\sqrt2-1}}{\sqrt2},\ \frac{1\pm\sqrt{2\sqrt2-1}}{\sqrt2}$$

б) $$x=\frac{\sqrt2}{-1\pm\sqrt{2\sqrt2-1}},\ \frac{\sqrt2}{1\pm\sqrt{2\sqrt2-1}}$$