Упр.110 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) sin(?)+cos(?) > 1, если 0 < ? < ?/2; б) cos(sin(?)) > 0, a?R.

1. Докажем неравенство

   $$\sin \alpha + \cos \alpha > 1, \quad 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}.$$

   Возведём левую часть в квадрат:

   $$\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha > 1.$$

   Так как $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1,$$ получаем

   $$1 + 2\sin \alpha \cos \alpha > 1,$$

   откуда

   $$\sin \alpha \cos \alpha > 0.$$

   При $$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$$ обе функции $$\sin \alpha$$ и $$\cos \alpha$$ положительны, значит произведение положительно. Следовательно,

   $$\sin \alpha + \cos \alpha > 1.$$

2. Докажем неравенство

   $$\cos(\sin \alpha) > 0, \quad \alpha \in \mathbb{R}.$$

   Так как

   $$-1 \le \sin \alpha \le 1,$$

   то

   $$-\frac{\pi}{2} < \sin \alpha < \frac{\pi}{2}.$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$ косинус положителен, значит

   $$\cos(\sin \alpha) > 0.$$

Ответ

а) $$\sin \alpha + \cos \alpha > 1$$ при $$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$$; б) $$\cos(\sin \alpha) > 0$$ при любом $$\alpha \in \mathbb{R}$$.