Упр.11 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 11. Дано: lg(16)=1,20412… Найдите количество цифр и первую цифру числа 125^100.

Найдём десятичный логарифм числа $$125^{100}$$.

$$ \lg 125^{100}=100\lg 125=100\lg 5^3=300\lg 5. $$

Так как

$$ \lg 16=1{,}20412\ldots,\qquad \lg 4=\frac{\lg 16}{2}\approx 0{,}60206, $$

$$ \lg 2=\frac{\lg 4}{2}\approx 0{,}30103, $$

то

$$ \lg 5=\lg\frac{10}{2}=1-\lg 2\approx 1-0{,}30103=0{,}69897. $$

Тогда

$$ \lg 125^{100}=100\cdot 3\lg 5\approx 300\cdot 0{,}69897=209{,}691. $$

Если число $$N$$ имеет $$k$$ цифр, то

$$ k-1\le \lg N<k. $$

Значит, для числа $$125^{100}$$ имеем

$$ 209\le \lg 125^{100}<210, $$

следовательно, число имеет $$210$$ цифр.

Чтобы найти первую цифру, рассмотрим дробную часть логарифма:

$$ 125^{100}=10^{209{,}691}=10^{209}\cdot 10^{0{,}691}. $$

Так как

$$ \lg 4\approx 0{,}60206<0{,}691<0{,}69897\approx \lg 5, $$

то

$$ 4<10^{0{,}691}<5. $$

Следовательно, первая цифра числа $$125^{100}$$ — $$4$$.

Ответ

$$210; 4.$$