Упр.11 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\frac{2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta}$$

   Используем формулы:
   $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$
   $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

   Тогда
   $$ \frac{2\sin\alpha\cos\beta-(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)} {\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta-2\sin\alpha\sin\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta} {\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} $$
   $$ = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} = \tg(\alpha+\beta). $$

2. $$\frac{1-\cos\alpha+\cos2\alpha}{\sin2\alpha-\sin\alpha}$$

   Используем формулы:
   $$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1,$$
   $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.$$

   Тогда
   $$ \frac{1-\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1}{2\sin\alpha\cos\alpha-\sin\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha(2\cos\alpha-1)} = \frac{\cos\alpha(2\cos\alpha-1)}{\sin\alpha(2\cos\alpha-1)} = \ctg\alpha. $$

3. $$\frac{\sqrt2\cos\alpha-2\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\sqrt2\sin\alpha}$$

   Раскроем формулы суммы:
   $$ \cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha-\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha =\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha, $$
   $$ \sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha+\cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha =\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha. $$

   Тогда
   $$ \frac{\sqrt2\cos\alpha-2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha\right)} {2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha\right)-\sqrt2\sin\alpha} = \frac{\sqrt2\sin\alpha}{\sqrt2\cos\alpha} = \tg\alpha. $$

4. $$\ctg^2\alpha\,(1-\cos2\alpha)+\cos^2\alpha$$

   Используем формулу
   $$1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha.$$
   Тогда
   $$ \ctg^2\alpha\,(1-\cos2\alpha)+\cos^2\alpha = \ctg^2\alpha\cdot 2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha. $$

   Так как $$\ctg^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha},$$ то
   $$ \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\cdot 2\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha+\cos^2\alpha = 3\cos^2\alpha. $$

Ответ

а) $$\tg(\alpha+\beta)$$; б) $$\ctg\alpha$$; в) $$\tg\alpha$$; г) $$3\cos^2\alpha$$.