Упр.106 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 1/(x(x+2)-1/(x+1)^2=1/12;
б) 6-21/(x^2-4x+10)=4x-x^2;
в) 1/((x+2)(x-7))+2/((x-2)(x-3))=1;
г) (x^2-3x+1)(x^2+3x+2)(x^2-9x+20)=-30;

1. а) Обозначим $$y=x^2+2x.$$ Тогда уравнение принимает вид

   $$\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}=\frac{1}{12}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(y+1)-y}{y(y+1)}=\frac{1}{12},$$

   $$\frac{1}{y(y+1)}=\frac{1}{12},$$

   $$y(y+1)=12.$$

   $$y^2+y-12=0,$$

   $$D=1+48=49,$$

   $$y_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{-1+7}{2}=3.$$

   1) $$x^2+2x=-4 \Rightarrow x^2+2x+4=0,$$ действительных корней нет.

   2) $$x^2+2x=3 \Rightarrow x^2+2x-3=0,$$

   $$D=4+12=16,$$

   $$x=\frac{-2\pm 4}{2},\qquad x=-3,\ 1.$$

2. б) Обозначим $$y=x^2-4x.$$ Тогда

   $$6-\frac{21}{y+10}=-y.$$

   Умножим на $$y+10$$:

   $$6(y+10)-21=-y(y+10),$$

   $$6y+60-21=-y^2-10y,$$

   $$y^2+16y+39=0.$$

   $$D=16^2-4\cdot 39=100,$$

   $$y_1=\frac{-16-10}{2}=-13,\qquad y_2=\frac{-16+10}{2}=-3.$$

   1) $$x^2-4x=-13 \Rightarrow x^2-4x+13=0,$$ действительных корней нет.

   2) $$x^2-4x=-3 \Rightarrow x^2-4x+3=0,$$

   $$D=16-12=4,$$

   $$x=\frac{4\pm 2}{2},\qquad x=1,\ 3.$$

3. в) Перепишем уравнение:

   $$\frac{1}{(x+2)(x-7)}+\frac{2}{(x-2)(x-3)}=1.$$

   Положим $$y=x^2-5x.$$ Тогда

   $$\frac{1}{y-14}+\frac{2}{y+6}=1.$$

   Умножим на $$ (y-14)(y+6) $$:

   $$y+6+2(y-14)=(y+6)(y-14),$$

   $$3y-22=y^2-8y-84,$$

   $$y^2-11y-62=0.$$

   $$D=11^2+4\cdot 62=369,$$

   $$y=\frac{11\pm \sqrt{369}}{2}=\frac{11\pm 3\sqrt{41}}{2}.$$

   Теперь решаем два квадратных уравнения:

   $$x^2-5x=\frac{11\pm 3\sqrt{41}}{2}.$$

   Тогда

   $$2x^2-10x-(11\pm 3\sqrt{41})=0,$$

   $$D=100+8(11\pm 3\sqrt{41})=188\pm 24\sqrt{41}=4(47\pm 6\sqrt{41}).$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{10\pm \sqrt{4(47\pm 6\sqrt{41})}}{4}=\frac{5\pm \sqrt{47\pm 6\sqrt{41}}}{2}.$$

4. г) Разложим множители:

   $$x^2-3x+1,\qquad x^2+3x+2=(x+1)(x+2),\qquad x^2-9x+20=(x-4)(x-5).$$

   Тогда

   $$ (x^2-3x+1)(x+1)(x+2)(x-4)(x-5)=-30.$$

   Положим $$y=x^2-3x+1.$$ Тогда

   $$x^2+3x+2=y+5,\qquad x^2-9x+20=y-10,$$

   и получаем

   $$y(y+5)(y-10)=-30.$$

   После раскрытия скобок:

   $$y^3-5y^2-50y+30=0.$$

   Проверкой находим корень $$y=6$$, тогда

   $$y^3-5y^2-50y+30=(y-6)(y^2+y-5).$$

   Отсюда

   $$y=6,\qquad y=\frac{-1\pm \sqrt{21}}{2}.$$

   1) $$x^2-3x+1=6 \Rightarrow x^2-3x-5=0,$$

   $$x=\frac{3\pm \sqrt{29}}{2}.$$

   2) $$x^2-3x+1=\frac{-1\pm \sqrt{21}}{2},$$

   откуда

   $$x=\frac{3\pm \sqrt{5\pm 2\sqrt{21}}}{2}.$$

Ответ

а) $$-3,\ 1$$;

б) $$1,\ 3$$;

в) $$\frac{5\pm \sqrt{47-6\sqrt{41}}}{2},\ \frac{5\pm \sqrt{47+6\sqrt{41}}}{2}$$;

г) $$\frac{3\pm \sqrt{29}}{2},\ \frac{3\pm \sqrt{5-2\sqrt{21}}}{2},\ \frac{3\pm \sqrt{5+2\sqrt{21}}}{2}$$.