Упр.106 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=|x|sin(x)/x; б) y=(sin(x)-cos(x))^2;
в) y=cos(x)+|cos(x)|; г) y=sin(x)ctg(x).

1. а) $$y=\dfrac{|x|\sin x}{x}$$

   При $$x>0$$ имеем $$|x|=x$$, значит

   $$y=\dfrac{x\sin x}{x}=\sin x.$$

   При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, значит

   $$y=\dfrac{-x\sin x}{x}=-\sin x.$$

   Следовательно, график функции состоит из двух частей: справа от нуля это график $$y=\sin x$$, слева от нуля — график $$y=-\sin x$$. В точке $$x=0$$ функция не определена.

2. б) $$y=(\sin x-\cos x)^2$$

   Раскроем квадрат:

   $$y=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x.$$

   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$, получаем

   $$y=1-\sin 2x.$$

   Это синусоида с амплитудой $$1$$, осью колебаний $$y=1$$ и периодом $$\pi$$.

3. в) $$y=\cos x+|\cos x|$$

   Если $$\cos x\ge 0$$, то $$|\cos x|=\cos x$$ и

   $$y=2\cos x.$$

   Если $$\cos x<0$$, то $$|\cos x|=-\cos x$$ и

   $$y=0.$$

   Значит, график совпадает с графиком $$y=2\cos x$$ на тех промежутках, где $$\cos x\ge 0$$, и с осью $$Ox$$ там, где $$\cos x<0$$.

4. г) $$y=\sin x\ctg x$$

   Так как $$\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$$, то при $$\sin x\ne 0$$

   $$y=\sin x\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cos x.$$

   Но исходная функция не определена при $$\sin x=0$$, то есть при $$x=\pi k$$, $$k\in\mathbb Z$$. Поэтому график совпадает с графиком $$y=\cos x$$, но без точек $$x=\pi k$$.

Ответ

а) $$y=\sin x$$ при $$x>0$$, $$y=-\sin x$$ при $$x<0$$, $$x=0$$ не входит в область определения;
б) $$y=1-\sin 2x$$;
в) $$y=2\cos x$$ при $$\cos x\ge 0$$, $$y=0$$ при $$\cos x<0$$;
г) $$y=\cos x$$, $$x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$