Упр.105 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40;
б) (x-1)^5+(x+3)^5=242(x+1);
в) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=100;
г) x^4+(x+2)^4=17.
$$ (x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40 $$
Сгруппируем множители:
$$ (x^2+6x+5)(x^2+6x+8)=40 $$
Пусть $$y=x^2+6x+5$$, тогда $$x^2+6x+8=y+3$$ и
$$ y(y+3)=40 $$
$$ y^2+3y-40=0 $$
$$ D=3^2+4\cdot 40=169 $$
$$ y_1=\frac{-3-13}{2}=-8,\qquad y_2=\frac{-3+13}{2}=5 $$
1) Если $$y=-8$$, то
$$ x^2+6x+5=-8 $$
$$ x^2+6x+13=0 $$
$$ D=36-52=-16<0 $$
Действительных корней нет.
2) Если $$y=5$$, то
$$ x^2+6x+5=5 $$
$$ x^2+6x=0 $$
$$ x(x+6)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=-6 $$
$$ (x-1)^5+(x+3)^5=242(x+1) $$
Пусть $$y=x+1$$. Тогда $$x-1=y-2$$, $$x+3=y+2$$, и получаем:
$$ (y-2)^5+(y+2)^5=242y $$
Раскроем скобки:
$$ 2y^5+80y^3+160y=242y $$
$$ 2y^5+80y^3-82y=0 $$
$$ 2y(y^4+40y^2-41)=0 $$
Отсюда либо $$y=0$$, либо
$$ y^4+40y^2-41=0 $$
Пусть $$z=y^2$$. Тогда
$$ z^2+40z-41=0 $$
$$ D=40^2+4\cdot 41=1764 $$
$$ z_1=\frac{-40-42}{2}=-41,\qquad z_2=\frac{-40+42}{2}=1 $$
Так как $$z=y^2\ge 0$$, подходит только $$z=1$$.
Тогда $$y=\pm 1$$ или $$y=0$$.
Возвращаясь к $$x$$:
$$ x+1=-1 \Rightarrow x=-2 $$
$$ x+1=1 \Rightarrow x=0 $$
$$ x+1=0 \Rightarrow x=-1 $$
$$ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=100 $$
Сгруппируем:
$$ (x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=100 $$
Пусть $$y=x^2+5x+5$$. Тогда
$$ (y-1)(y+1)=100 $$
$$ y^2-1=100 $$
$$ y^2=101 $$
Значит, $$y=\pm \sqrt{101}$$.
1) Если $$x^2+5x+5=\sqrt{101}$$, то
$$ x^2+5x+5-\sqrt{101}=0 $$
$$ D=25-4(5-\sqrt{101})=5+4\sqrt{101} $$
$$ x=\frac{-5\pm \sqrt{5+4\sqrt{101}}}{2} $$
2) Если $$x^2+5x+5=-\sqrt{101}$$, то
$$ x^2+5x+5+\sqrt{101}=0 $$
$$ D=25-4(5+\sqrt{101})<0 $$
Действительных корней нет.
$$ x^4+(x+2)^4=17 $$
Пусть $$y=x+1$$. Тогда $$x=y-1$$, $$x+2=y+1$$, и
$$ (y-1)^4+(y+1)^4=17 $$
Раскроем скобки:
$$ 2y^4+12y^2+2=17 $$
$$ 2y^4+12y^2-15=0 $$
Пусть $$z=y^2$$. Тогда
$$ 2z^2+12z-15=0 $$
$$ D=12^2+4\cdot 2\cdot 15=264 $$
$$ z=\frac{-12\pm \sqrt{264}}{4}=\frac{-6\pm \sqrt{66}}{2} $$
Так как $$z=y^2\ge 0$$, подходит только
$$ y^2=\frac{-6+\sqrt{66}}{2} $$
Следовательно,
$$ y=\pm \sqrt{\frac{-6+\sqrt{66}}{2}} $$
Так как $$x=y-1$$, получаем
$$ x=-1\pm \sqrt{\frac{-6+\sqrt{66}}{2}} $$
Ответ
а) $$x=-6,\ 0$$;
б) $$x=-2,\ -1,\ 0$$;
в) $$x=\frac{-5\pm \sqrt{5+4\sqrt{101}}}{2}$$;
г) $$x=-1\pm \sqrt{\frac{-6+\sqrt{66}}{2}}$$.
