Упр.104 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 2x^3-x^2+x+1=0; б) 10x^3-3x^2-2x+1=0;
в) x^4+x^3+x^2-x-2=0; г) 2x^4+7x^3+6x^2+7x-6=0.

1. а) $$2x^3-x^2+x+1=0$$

   Разложим на множители:

   $$2x^3-x^2+x+1=(2x+1)(x^2-x+1).$$

   Тогда

   $$ (2x+1)(x^2-x+1)=0. $$

   Из первого множителя получаем:

   $$2x+1=0,\quad x=-0{,}5.$$

   Для второго множителя:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0,$$

   действительных корней нет.

2. б) $$10x^3-3x^2-2x+1=0$$

   Разложим на множители:

   $$10x^3-3x^2-2x+1=(2x+1)(5x^2-4x+1).$$

   Тогда

   $$ (2x+1)(5x^2-4x+1)=0. $$

   Из первого множителя:

   $$2x+1=0,\quad x=-0{,}5.$$

   Для квадратного трёхчлена:

   $$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot 1=16-20=-4<0,$$

   действительных корней нет.

3. в) $$x^4+x^3+x^2-x-2=0$$

   Разложим на множители:

   $$x^4+x^3+x^2-x-2=(x+1)(x-1)(x^2+x+2).$$

   Тогда

   $$ (x+1)(x-1)(x^2+x+2)=0. $$

   Из первых двух множителей:

   $$x+1=0 \Rightarrow x=-1,$$

   $$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$

   Для квадратного трёхчлена:

   $$D=1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0,$$

   действительных корней нет.

4. г) $$2x^4+7x^3+6x^2+7x-6=0$$

   Разложим на множители:

   $$2x^4+7x^3+6x^2+7x-6=(2x+3)(2x-1)(x^2+x+2).$$

   Тогда

   $$ (2x+3)(2x-1)(x^2+x+2)=0. $$

   Из первых двух множителей:

   $$2x+3=0 \Rightarrow x=-1{,}5,$$

   $$2x-1=0 \Rightarrow x=0{,}5.$$

   Для квадратного трёхчлена:

   $$D=1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0,$$

   действительных корней нет.

Ответ

а) $$x=-0{,}5$$; б) $$x=-0{,}5$$; в) $$x=-1,\ 1$$; г) $$x=-1{,}5,\ 0{,}5$$.