Упр.104 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=cos(2x)+sin^2(x); б) y=1-4sin(3x);
в) y=sin(x)-cos(x); г) y=1+|tg(x)|.

а) $$y=\cos 2x+\sin^2 x.$$

Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x.$$ Тогда

$$y=\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=\cos^2 x.$$

Так как $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то наибольшее значение функции равно $$1,$$ а наименьшее — $$0.$$

б) $$y=1-4\sin 3x.$$

Поскольку $$-1\le \sin 3x\le 1,$$ получаем

$$-4\le -4\sin 3x\le 4,$$

значит,

$$-3\le 1-4\sin 3x\le 5.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$5,$$ наименьшее — $$-3.$$

в) $$y=\sin x-\cos x.$$

Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$ \sin x-\cos x =\sqrt2\left(\sin x\cdot \frac{\sqrt2}{2}-\cos x\cdot \frac{\sqrt2}{2}\right) =\sqrt2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right) =\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right). $$

Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

$$-\sqrt2\le y\le \sqrt2.$$

Значит, наибольшее значение равно $$\sqrt2,$$ наименьшее — $$-\sqrt2.$$

г) $$y=1+|\tg x|.$$

Так как $$|\tg x|\ge 0,$$ то

$$y\ge 1.$$

Наименьшее значение функции равно $$1.$$ Наибольшего значения нет, так как $$|\tg x|$$ не ограничено сверху.

Ответ

а) наибольшее $$1,$$ наименьшее $$0$$; б) наибольшее $$5,$$ наименьшее $$-3$$; в) наибольшее $$\sqrt2,$$ наименьшее $$-\sqrt2$$; г) наименьшее $$1,$$ наибольшего значения нет.