Упр.104 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$f(x)=\frac12\cos\frac{x}{3}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Так как $$-1\le \cos\frac{x}{3}\le 1,$$ то
$$-\frac12\le \frac12\cos\frac{x}{3}\le \frac12.$$
Следовательно, $$E(f)=\left[-\frac12;\frac12\right].$$
Функция чётная.
Нули функции:
$$\frac12\cos\frac{x}{3}=0 \;\Rightarrow\; \cos\frac{x}{3}=0,$$
$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \iff \cos\frac{x}{3}>0 \iff x\in\left(-\frac{\pi}{2}+6\pi n;\frac{\pi}{2}+6\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)<0 \iff \cos\frac{x}{3}<0 \iff x\in\left(\frac{\pi}{2}+6\pi n;\frac{3\pi}{2}+6\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$
Промежутки монотонности:
$$f(x)\ \text{возрастает при}\ x\in[-3\pi+6\pi n;6\pi n],\ n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)\ \text{убывает при}\ x\in[6\pi n;3\pi+6\pi n],\ n\in\mathbb{Z}.$$
Максимумы достигаются при $$x=6\pi n,$$ минимумы — при $$x=3\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$f(x)=-2\sin 2x$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то
$$-2\le -2\sin 2x\le 2.$$
Следовательно, $$E(f)=[-2;2].$$
Функция нечётная.
Нули функции:
$$-2\sin 2x=0 \;\Rightarrow\; \sin 2x=0,$$
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \iff \sin 2x<0 \iff x\in\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi+\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)<0 \iff \sin 2x>0 \iff x\in\left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$
Промежутки монотонности:
$$f(x)\ \text{возрастает при}\ x\in\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)\ \text{убывает при}\ x\in\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.$$
Максимумы достигаются при $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,$$ минимумы — при $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$f(x)=-1{,}5\cos 3x$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Так как $$-1\le \cos 3x\le 1,$$ то
$$-1{,}5\le -1{,}5\cos 3x\le 1{,}5.$$
Следовательно, $$E(f)=[-1{,}5;1{,}5].$$
Функция нечётная.
Нули функции:
$$-1{,}5\cos 3x=0 \;\Rightarrow\; \cos 3x=0,$$
$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \iff \cos 3x<0 \iff x\in\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}\right),\ n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)<0 \iff \cos 3x>0 \iff x\in\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\right),\ n\in\mathbb{Z}.$$
Промежутки монотонности:
$$f(x)\ \text{возрастает при}\ x\in\left[-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\frac{2\pi n}{3}\right],\ n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)\ \text{убывает при}\ x\in\left[\frac{2\pi n}{3};\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right],\ n\in\mathbb{Z}.$$
Максимумы достигаются при $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},$$ минимумы — при $$x=\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
г) $$f(x)=3\sin\frac{x}{2}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Так как $$-1\le \sin\frac{x}{2}\le 1,$$ то
$$-3\le 3\sin\frac{x}{2}\le 3.$$
Следовательно, $$E(f)=[-3;3].$$
Функция нечётная.
Нули функции:
$$3\sin\frac{x}{2}=0 \;\Rightarrow\; \sin\frac{x}{2}=0,$$
$$\frac{x}{2}=\pi n,\quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \iff \sin\frac{x}{2}>0 \iff x\in(4\pi n;2\pi+4\pi n),\ n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)<0 \iff \sin\frac{x}{2}<0 \iff x\in(2\pi+4\pi n;4\pi+4\pi n),\ n\in\mathbb{Z}.$$
Промежутки монотонности:
$$f(x)\ \text{возрастает при}\ x\in[-\pi+4\pi n;\pi+4\pi n],\ n\in\mathbb{Z},$$
$$f(x)\ \text{убывает при}\ x\in[\pi+4\pi n;3\pi+4\pi n],\ n\in\mathbb{Z}.$$
Максимумы достигаются при $$x=\pi+4\pi n,$$ минимумы — при $$x=3\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=\left[-\frac12;\frac12\right],\ f\ \text{чётная},\ x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n.$$
б) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[-2;2],\ f\ \text{нечётная},\ x=\frac{\pi n}{2}.$$
в) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[-1{,}5;1{,}5],\ f\ \text{нечётная},\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$
г) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[-3;3],\ f\ \text{нечётная},\ x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
