Упр.103 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 103. Докажите, что: а) если x_0=p/1 — несократимая дробь, являющаяся корнем уравнения a_0x^n+a_1x^(n-1)+…+a_n=0 с целыми коэффициентами, то р — делитель a_n, a q — делитель a_0; б) остаток от деления многочлена Р(х) на одночлен (х-а) равен значению этого многочлена в точке а (в частности, если а — корень многочлена Р(х), то этот многочлен делится на (х-а) без остатка).

а) Пусть $$x_0=\frac{p}{q}$$ — несократимая дробь и она является корнем уравнения

$$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n=0,$$

где все коэффициенты $$a_0,a_1,\dots,a_n$$ — целые.

Подставим $$x=\frac{p}{q}$$ в уравнение:

$$a_0\left(\frac{p}{q}\right)^n+a_1\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\dots+a_n=0.$$

Умножим на $$q^n$$:

$$a_0p^n+a_1pq^{\,n-1}+\dots+a_{n-1}p q^{\,n-1}+a_nq^n=0.$$

Перенесём последний член:

$$a_nq^n=-p\bigl(a_0p^{n-1}+a_1p^{n-2}q+\dots+a_{n-1}q^{n-1}\bigr).$$

Значит, $$p \mid a_nq^n$$. Так как дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима, то $$\gcd(p,q)=1$$, следовательно, $$p$$ не имеет общих делителей с $$q^n$$. Поэтому из делимости $$p \mid a_nq^n$$ получаем $$p \mid a_n$$.

Аналогично из исходного равенства можно выразить

$$a_0p^n=-q\bigl(a_1p^{n-1}+a_2p^{n-2}q+\dots+a_nq^{n-1}\bigr),$$

откуда следует, что $$q \mid a_0p^n$$. Поскольку $$\gcd(p,q)=1$$, имеем $$q \mid a_0$$.

Итак, $$p$$ — делитель $$a_n$$, а $$q$$ — делитель $$a_0$$.

б) По теореме о делении многочлена на двучлен имеем

$$P(x)=(x-a)Q(x)+R(x),$$

где $$R(x)$$ — остаток, а значит, $$\deg R(x)<1$$, то есть $$R(x)=C$$ — постоянное число.

Тогда

$$P(x)=(x-a)Q(x)+C.$$

Подставим $$x=a$$:

$$P(a)=(a-a)Q(a)+C=C.$$

Следовательно, остаток от деления многочлена $$P(x)$$ на $$x-a$$ равен $$P(a)$$.

Если $$a$$ — корень многочлена $$P(x)$$, то $$P(a)=0$$, значит, остаток равен нулю, и многочлен делится на $$x-a$$ без остатка.

Ответ

а) Если $$\frac{p}{q}$$ — несократимый корень уравнения с целыми коэффициентами, то $$p \mid a_n$$, $$q \mid a_0$$.
б) Остаток от деления $$P(x)$$ на $$x-a$$ равен $$P(a)$$; если $$P(a)=0$$, то $$P(x)$$ делится на $$x-a$$ без остатка.