Упр.102 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 102. Докажите, что если уравнения ax^2+bx+c=0 и bx^2+cx+a=0 (a?0) имеют общий корень, то и уравнение cx^2+ax+b=0 имеет тот же корень.

Пусть $$x_0$$ — общий корень уравнений

$$ax^2+bx+c=0,$$

$$bx^2+cx+a=0.$$

Тогда, умножив первое уравнение на $$x_0$$ и вычтя из него второе, получим:

$$x_0(ax_0^2+bx_0+c)-(bx_0^2+cx_0+a)=0.$$

После раскрытия скобок имеем:

$$ax_0^3+b x_0^2+c x_0-bx_0^2-cx_0-a=0,$$

то есть

$$ax_0^3-a=0.$$

Так как $$a\ne 0,$$ то

$$x_0^3-1=0,$$

откуда

$$x_0=1.$$

Подставим $$x=1$$ в первое уравнение:

$$a+b+c=0.$$

Теперь проверим третье уравнение при $$x=1$$:

$$cx^2+ax+b= c+a+b = a+b+c = 0.$$

Значит, $$x=1$$ является корнем и уравнения $$cx^2+ax+b=0.$$

Ответ

Если два первых уравнения имеют общий корень, то этот корень равен $$1$$, и он же является корнем уравнения $$cx^2+ax+b=0.$$