Упр.102 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=1-sin(5x); б) y=xsin^(x)-xcos^2(x);
в) y=3tg(x/2-?/4); г) y=(sin(x)+cos(x))^2.

1. а) $$y=1-\sin 5x$$

   Функция $$\sin 5x$$ имеет период $$T=\frac{2\pi}{5}$$. При добавлении константы период не меняется, значит и функция $$y=1-\sin 5x$$ периодична с тем же периодом.

   Наименьший положительный период:

   $$T=\frac{2\pi}{5}$$

2. б) $$y=x\sin^2 x-x\cos^2 x$$

   Преобразуем:

   $$y=x(\sin^2 x-\cos^2 x)=-x(\cos^2 x-\sin^2 x)=-x\cos 2x$$

   Здесь множитель $$x$$ не является периодическим, поэтому вся функция периодической не является.

3. в) $$y=3\tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$

   Функция $$\tg x$$ имеет период $$\pi$$. Тогда для аргумента $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}$$ период $$T$$ найдём из условия:

   $$\frac{x+T}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}+\pi$$

   $$\frac{T}{2}=\pi,\qquad T=2\pi$$

   Наименьший положительный период:

   $$T=2\pi$$

4. г) $$y=(\sin x+\cos x)^2$$

   Раскроем квадрат:

   $$y=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x$$

   $$y=1+\sin 2x$$

   Функция $$\sin 2x$$ имеет период $$\pi$$, значит и функция $$y=1+\sin 2x$$ имеет период $$\pi$$.

   Наименьший положительный период:

   $$T=\pi$$

Ответ

Периодические функции: а), в), г). Наименьшие положительные периоды: а) $$\frac{2\pi}{5}$$, в) $$2\pi$$, г) $$\pi$$. Функция б) не является периодической.